傅里叶叠层成像基础——正向成像模型

近期学习了解了傅里叶叠层成像技术，了解了显微镜基本成像原理，实现了常见的FPM恢复手段包括EPRY等方法，接下来计划对潘安老师及左超老师实验室开放的论文进行理解，还有一些光学基本知识也将穿插在其中。
参考书籍 ：《傅里叶光学导论》
《计算摄影学基础》
《数字图像处理》
《生物光子学讲义》——知乎潘安老师
接下来将不定期总结相关知识，更新顺序如下(先更新最基础的流程)：

先从自己入门的部分开始，参考论文《Wide-field, high-resolution Fourier ptychographic microscopy》《高分辨率大视场快速傅里叶叠层显微成像方法研究_潘安》等。目前自己理解的也很基础，重建测试均采用仿真数据，仅作总结及入门使用，且本文偏重代码仿真入门，具体原理后期会进行更新

傅里叶叠层成像过程

在成像系统设计中，我们使用空间带宽积(SBP)描述系统的总可分辨像素。表示由成像系统传输的信息内容，并且可以基于总成像面积和最小分辨特征尺寸来计算该信息内容。常规显微镜平台的SBP约为1000万像素，不管使用物镜的放大倍数或者数值孔径。例如一个标准的20×，0.4NA的物镜的分辨率为~0.8微米，视野直径是1.1mm，对应于约为800万像素的SBP。为了增大SBP，可以增大镜头的尺寸以增大成像视场视野，但是随之光学像差也增加，因此，我们需要引入更多的光学表面，以增加透镜优化的自由度。

傅里叶层析成像（FP）的最初动机是从计算成像的角度解决SBP问题。FP结合了经典光学的两项创新，以绕过传统显微镜平台的SBP障碍，第一项创新是相位恢复技术，众所周知，光探测器，如CCD和照相板，只能测量光波的强度变化。在采集过程中，与光波在传播过程中延迟多少有关的相位信息会丢失。为了解决这个问题，相位恢复技术被用于使用仅强度测量来恢复丢失的相位信息。与许多反问题一样，相位恢复的一个常见公式是寻求与强度测量一致的解决方案。它通常包括在空间和/或傅里叶域中交替执行对象的已知信息。FP中采用的第二项创新是孔径合成技术。该技术的基本思想是在傅里叶域中组合来自显微镜集合的图像，以提高分辨率。然而，该技术的数据融合过程需要了解入射光波的强度和相位信息。

典型的FP平台由LED矩阵和带有低NA物镜的传统显微镜组成，如图1所示。低NA物镜的使用允许以低空间分辨率为代价捕获大视场。另一方面，LED矩阵用于从多个角度连续照亮样品。目标的相干传递函数在傅里叶域中施加了一个定义明确的约束。该约束在傅里叶空间中进行数字平移，以反映其照明的角度变化。FP通过交替约束其振幅以匹配所获取的低分辨率图像序列，以及其频谱以匹配平移傅立叶约束，从而收敛到高分辨率复杂样本解（本质上还是一个非凸优化问题）。因此，通过简单地将LED矩阵添加到传统显微镜中，FP能够将其转换为高分辨率、宽视场显微镜，其可缩放SBP比所用物镜的SBP高几个数量级。

1.1正向成像模型

在FP的正向成像模型中，我们在不同入射角下捕获样品的多个强度图像。该过程可以建模为相干成像过程，如下所示：

Aobject表示物体的复振幅，Aoutput表示显微镜系统的输出复数信号，h(x,y)表示空间域中的相干点扩展函数，e表示具有波矢量的入射平面波(kxn,kyn)。这个等式也可以变换到傅里叶域：

Gobject表示傅里叶域中的物体光谱，Goutput表示显微镜平台的输出光谱，Hcoh是显微镜平台的相干传递函数。我们注意到，在空间域中e的乘法相当于在傅里叶域中将物体光谱移动（kxn，kyn）的量。因此，我们在方程的右侧看到了一个偏移的频谱。在上面两个式子中我们假设样品是2D薄层。只有在这种假设下，在不同入射角下捕获的低分辨率图像才能唯一地映射到傅里叶域中的不同通带。

下面，我们将使用MATLAB模拟FP的前向成像过程。代码1-7，我们将首先生成一个高分辨率的复杂图像作为我们的对象。然后，我们将生成LED矩阵的入射波矢量（第8-22行）。最后，我们将使用上式子的低通滤波处理（第23–51行）生成输出图像。

在第1-7行中，我们生成高分辨率复杂图像作为输入对象。我们使用“camera man”作为输入振幅，使用aerial view image作为输入相位，如图所示(matlab自带文件)

在第8-20行中，我们生成LED矩阵的波矢量。如图所示，

此模拟中的LED矩阵包含15乘15个元素。第12行定义了相邻LED元件之间的距离。13行定义了LED矩阵和样品之间的距离。第15行中的“for ”生成LED元件的空间位置。假设物体位于（0，0）位置，19和20生成15乘15 LED元件的入射波矢量。一旦我们生成入射波的波矢量，我们就可以使用之前提到的公式执行相干成像过程。在第22到26行定义了相干成像系统。
我们定义了两种像素大小：

1） 图像传感器的采样像素尺寸（即所采用的CCD的像素尺寸），以及
2） 最终重建的超分辨率图像的像素大小。
我们需要在这个相干成像过程中处理两种类型的图像维度：
1）256 ×256像素的高分辨率输入图像，以及
2） 64×64像素的低分辨率输出。在第29–31行中，我们初始化低分辨率输出“imSeqLowRes”，这是一个尺寸为64乘64乘225的图像变量。

我们使用“imSeqLowRes”存储与225个不同LED元件对应的模拟低分辨率输出图像。在第39行我们定义了相干成像系统的相干传递函数，在第41行的for循环中我们使用之前提到的公式生成不同LED元件的滤波低分辨率图像。注意，第46行中有一个缩放因子,该因子用于在改变图像大小时对傅里叶幅度进行归一化。在第47行中，我们取输出复数信号的绝对值，因为我们在记录过程中丢失了相位信息。
下图显示了分别对应第一个、第113个、和225个LED元件的模拟输出图像。注意到输出图像的尺寸为64×64像素，在每个维度上比输入图像的尺寸低4倍，输出图像仅包含振幅信息，相位信息在记录过程中丢失。FP的目标是使用图中所示的低分辨率强度测量来恢复高分辨率复杂物体。