Mr Maria

【数据结构--二叉树】--附超详细图解

1.树概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

1.2 树的相关概念

现在我们来介绍几个概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为2
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：D、E、F为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：A、B、C节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为2
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为3

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表
示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

1.4树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树
的二叉树组成。

二叉树的特点：

1.每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2.二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

现实中的二叉树

数据结构中的二叉树

特殊的二叉树

满二叉树
树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个==二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ==，则它就是满二叉树。
完全二叉树
完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质

1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点。
2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大节点数为2^h-1。
3.对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为 n1,则有** n0＝n2 ＋1**。
4.若规定根节点的层数为1，则具有n个节点的满二叉树的深度为log(以2为底n+1的对数）。
5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
于序号为i的结点有：

若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

若2i+1=n否则无左孩子

若2i+2=n否则无右孩子

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构

☁️2.5.1 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的
浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在
物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

那么是怎样实现物理上数组，但是在逻辑上却是这样一颗二叉树的模型的呢？

通过观察数组索引和二叉树编号我们很容易发现这样的规律：

leftchild = parent*2+1
rightchild = parent*2+2
parent = (chld-1)/2

非常重要的结论！！！

☁️2.5.2 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表
中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结
点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据
结构如红黑树等会用到三叉链。

// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
 struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结
构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

4.二叉树链式结构的实现

4.1二叉树链式结构的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做
的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

前序/中序/后序的递归结构遍历

NLR:前序遍历–(根左右)
LNR:中序遍历–（左根右）
LRN:后序遍历–（左右根）

层序遍历

：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在
层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层
上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

练习：请写出下面的前序/中序/后序/层序遍历

前序：ABDEHCFG
中序：DBEHAFCG
后序：DHEBFGCA
层序：ABCDEFGH

5.关于二叉树的一些的代码

5.1 前中后序列遍历

后面的代码都基于这样一棵简单的二叉树

#include
#include

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* left;//存储节点的左孩子
	struct BinaryTreeNode* right;//存储节点的右孩子
	BTDataType data;//存储结点所代表的值
}BTNode;

//前序
void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	//先遍历根打印，然后是左子树和右子树
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

//中序
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	//先遍历左子树打印，然后是根和右子树
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

//后序
void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	//先遍历左子树打印， 然后是右子树和根
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}
int main()
{
	//创建节点

	BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	A->data = 'A';
	A->left = NULL;
	A->right = NULL;

	BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	B->data = 'B';
	B->left = NULL;
	B->right = NULL;

	BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	C->data = 'C';
	C->left = NULL;
	C->right = NULL;

	BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	D->data = 'D';
	D->left = NULL;
	D->right = NULL;

	BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	E->data = 'E';
	E->left = NULL;
	E->right = NULL;

	//连接节点
	A->left = B;
	A->right = C;
	B->left = D;
	B->right = E;

	//测试前中后序
	PrevOrder(A);
	printf("\n");
	InOrder(A);
	printf("\n");
	PostOrder(A);
	return 0;
}

运行结果

现在我们画一个简单的递归图来理解一下递归的过程（以前序遍历为例）

5.2 计算二叉树的总结点数

方法一：遍历计数法

void TreeSize(BTNode* root,int* p)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	(*p)++;
	TreeSize(root->left, p);
	TreeSize(root->right, p);
}
int main()
{
	BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	A->data = 'A';
	A->left = NULL;
	A->right = NULL;

	BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	B->data = 'B';
	B->left = NULL;
	B->right = NULL;

	BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	C->data = 'C';
	C->left = NULL;
	C->right = NULL;

	BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	D->data = 'D';
	D->left = NULL;
	D->right = NULL;

	BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	E->data = 'E';
	E->left = NULL;
	E->right = NULL;

	A->left = B;
	A->right = C;
	B->left = D;
	B->right = E;
	int sizeA = 0;
	TreeSize(A, &sizeA);
	printf("TreeSize:%d\n", sizeA);
	int sizeB = 0;
	TreeSize(B, &sizeB);
	printf("TreeSize:%d\n", sizeB);
	return 0;
}

运行结果：

❗️❗️❗️注意：
1、不使用全局变量来保存Size的值，是因为全局变量存储在静态区，每一次调用完不会销毁，也就是说Size的值会一直累加。
2、不使用局部变量来保存，因为每一次递归调用函数时，都会重新创建一个size，达不到累加的效果。最好的方法就是通过传参的方式来调用函数。

方法二：分治算法

#include
#include

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* left;//存储节点的左孩子
	struct BinaryTreeNode* right;//存储节点的右孩子
	BTDataType data;//存储结点所代表的值
}BTNode;
int TreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

int main()
{
	BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	A->data = 'A';
	A->left = NULL;
	A->right = NULL;

	BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	B->data = 'B';
	B->left = NULL;
	B->right = NULL;

	BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	C->data = 'C';
	C->left = NULL;
	C->right = NULL;

	BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	D->data = 'D';
	D->left = NULL;
	D->right = NULL;

	BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	E->data = 'E';
	E->left = NULL;
	E->right = NULL;

	A->left = B;
	A->right = C;
	B->left = D;
	B->right = E;
	printf("TreeSizeA:%d\n", TreeSize(A));
	printf("TreeSizeB:%d\n", TreeSize(B));
	return 0;
}

5.3 计算二叉树叶子节点数

#include
#include

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* left;//存储节点的左孩子
	struct BinaryTreeNode* right;//存储节点的右孩子
	BTDataType data;//存储结点所代表的值
}BTNode;
	int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
		return 1;
	return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}
int main()
{
	//创建节点

	BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	A->data = 'A';
	A->left = NULL;
	A->right = NULL;

	BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	B->data = 'B';
	B->left = NULL;
	B->right = NULL;

	BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	C->data = 'C';
	C->left = NULL;
	C->right = NULL;

	BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	D->data = 'D';
	D->left = NULL;
	D->right = NULL;

	BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	E->data = 'E';
	E->left = NULL;
	E->right = NULL;

	//连接节点
	A->left = B;
	A->right = C;
	B->left = D;
	B->right = E;

	//测试叶子节点个数
	printf("TreeLeafSizeA:%d\n", TreeLeafSize(A));
	printf("TreeLeafSizeB:%d\n", TreeLeafSize(B));

	return 0;
}