【算法练习Day46】判断子序列&&不同的子序列

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判断子序列

392. 判断子序列 - 力扣（LeetCode）

判断子序列这道题目，和上一期的题解法几乎完全相同，只是递推公式有一点差别，但是要是完全用之前的代码也是可行的。

dp数组的含义：dp【i】【j】代表以i-1和j-1为结尾的相同子序列的长度。之前我们讲过，同时操作两个数组的时候，通常都是设置二维数组。设置为i-1和j-1表示的原因是，方便数组初始化。

递推公式：当两个字符相等时候

if（s【i-1】==t【j-1】）dp【i】【j】=dp【i-1】【j-1】+1；

因为dp数组含义的缘故，我们在判断时候对应的也是它的字符串的i-1位置和j-1位置，然后如果两字符此时对应相等，那么就是之前最大的相同子序列的长度+1。

else dp【i】【j】=dp【i】【j-1】；

如果两字符不相等，那么就让此时的对应的do等于 dp【i】【j-1】，这是因为我们是判断s是否为t的子序列，是删除t中某些元素看看能否构成s，已知此时两对应字符一定不相等，那此时dp就等于不考虑当前这个不等的字符时，所对应的最长相同子序列长度，这样做也相当于变相删除该多余字符。细心的读者也许已经发现了，与之前那期递推公式不同的是没有dp【i-1】【j】这一项了，之前的递推公式是它们两个取最大值，那是因为上一道题两个字符都可以删除若干数据，而最终保证结果是最长的公共部分就可以了，不一定给的哪个字符串更长，所以删哪一个也就不一定了，需要取最大值，而这道题我们是明确的判断s是否是t的子序列，那就是t长要删除某元素后看是否构成s。至于为什么我说用和之前一样的代码也能通过呢？因为我们不需要删除s的元素，也就是说加上它也不会影响代码的运行逻辑，但是建议还是要根据题目的需求写逻辑，而不是这类题都用一种固定的递推公式来写，这样多思考更有利于理解题的本质。

dp数组初始化：dp数组初始化就是全都是0没什么说的，由于dp定义的缘故，和递推公式的推理，都使得，应该被初始化为0。

遍历顺序：还是正常的从左到右从上到下。

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        vector<vector<int>>dp(s.size()+1,vector<int>(t.size()+1,0));
        for(int i=1;i<=s.size();i++){
            for(int j=1;j<=t.size();j++){
                if(s[i-1]==t[j-1])
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else dp[i][j]=dp[i][j-1];
            }
        }
        if(dp[s.size()][t.size()]==s.size())return true;
        return false;
    }
};

题整体来看如果，上一期的题目可以完全理解，那这道题就还是相对好做一些。

不同的子序列

115. 不同的子序列 - 力扣（LeetCode）

与上一道题的相比，这道题显得难了不少。也是困扰了我一段时间的题，感觉递推公式不是很好理解。

dp数组含义：这道题是判断在s里t出现的次数有多少次，这道题并不是说直观的就能看出s字符串里有几个t，不要曲解题目意思，它是说有多少种删除元素的方法，使得字符串由s转化为t，应该这样去理解。所以应该将数组含义定义为以i-1结尾的字符串s中包含有以j-1为结尾的t多少个。这个dp数组定义非常重要，要好好理解，才能够理解下面的递推公式。

递推公式：递推公式由两部分组成，和上一题一样，一个是要匹配的字符匹配，另一个字符不匹配，要模拟删除，而不同的是这道题里能够相匹配的字符递推公式，也分成两部分。

经过了一段时间的理解，我觉得这样想是能够帮助理解递推式的。

如果两字符不匹配，那么dp【i】【j】=dp【i-1】【j】因为我们上面说过dp数组的含义，表示的是前一个位置，当前一个位置不匹配字符，那么说明此时应该和同一列的上一行所代表的个数相等，为什么是这样呢？画dp数组推到图也就是打印，我们可以知道，s表示行t表示列时候，此时s对应的字符和t不等，那么就应该此处的数值继承下来上一次匹配成功的值，虽然它的同列上一行也可能不匹配，但是它的上一处也是继承的匹配成功的那个个数。我们是拿着s的字符一点点找t的字符去匹配，如果还是不明白，画一次会帮助理解。

那如果两字符相匹配呢？我们不仅仅要保留之前的匹配不成功的所继承下来的个数，还要加上此次匹配成功时候应该加上的个数，而上一次怕匹配成功是哪一个位置？是dp【i-1】【j-1】也就是我们要填写的位置的左上角，，它是匹配成功的时候所继承下来的含有个数，两者一做和就能得到答案了，所以递推公式是：

if（s【i-1】==t【j-1】）dp【i】【j】=dp【i-1】【j-1】+dp【i-1】【j】
else dp【i】【j】=dp【i-1】【j】

一开始怎么也想不明白为什么，要这么写，后来换一种思维去想，就能想得明白了。

dp数组初始化：初始化也是有一定讲究的，虽然我们是定义的i-1和j-1的位置，但此题并不意味着要全部初始化为0，因为我们是求得s里有几个t，当t是空字符串时候，每一个i-1下标都对应着一种方法得到t，那就是删除i-1之前的全部字符，得到一个空字符串。s是空字符串时候，无论怎么删都不可能得到一个t，而且其他的位置都会被递推公式所覆盖，所以除了第一行之外全都初始化为0就可以了，第一行初始化为1。

遍历顺序：根据递推公式得到，i，j位置由它的上面位置和左上位置推导，所以依旧是从上到下从左到右

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        vector<vector<unsigned long int>>dp(s.size()+1,vector<unsigned long int>(t.size()+1,0));
        dp[0][0]=1;
        for(int i=1;i<s.size();i++)dp[i][0]=1;
        for(int j=1;j<t.size();j++)dp[0][j]=0;
        for(int i=1;i<=s.size();i++){
            for(int j=1;j<=t.size();j++){
                if(s[i-1]==t[j-1])
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];//可以理解为dp二维数组即使本次匹配字符未成功
                //它也至少是上一次匹配的个数，因为dp数组的定义就是s字符串i-1位置下，对应的有几个t
                //本次即使未匹配成功，也不应该影响之前匹配成功保留下来的次数。
                //而如果匹配成功，那么就是两个字符匹配的成功个数加上本来有的个数
                else dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }
        }
        return dp[s.size()][t.size()];
    }
};

总结：

今天我们完成了判断子序列、不同的子序列两道题，相关的思想需要多复习回顾。接下来，我们继续进行算法练习。希望我的文章和讲解能对大家的学习提供一些帮助。

当然，本文仍有许多不足之处，欢迎各位小伙伴们随时私信交流、批评指正！我们下期见~