网易笔试——小易喜欢的数列

网易笔试——小易喜欢的数列

题目

小易非常喜欢拥有以下性质的数列:
1、数列的长度为n
2、数列中的每个数都在1到k之间(包括1和k)
3、对于位置相邻的两个数A和B(A在B前),都满足(A <= B)或(A mod B != 0)(满足其一即可)
当n = 4, k = 7时，那么对于{1,7,7,2},它的长度是4,所有数字也在1到7范围内,并且满足第三条性质,所以小易喜欢这个数列。
但是小易不喜欢{4,4,4,2}这个数列。小易给出n和k,希望你能帮他求出有多少个是他会喜欢的数列。

输入

多组输入，每组输入包括n和k

输出

输出满足题意的数列个数，将总数对1000000007取模

思路

1. 首先考虑数列长度=1的情况。n=1时，数列只有一位，那么这一位数可以取1,…,k中任意一种，此时满足题意的数列总数为k。

2. 再考虑数列长度=2的情况。n=2的数列就是在n=1的满足题意的数列后再加上一位数（我们把n=1末位的数叫A，新加的这位数则是B），B在1,…,k中选取且要A与B满足条件3。显然，对于$B=i(i=1,...,k)$的每一种情况，有
   $$\begin{gathered} 长度为2,B取i且满足题意的数列数 \\ =n为1且满足题意的数列数-B与A不满足条件3的数列数 \\ =k-B与A不满足条件3的数列数 \end{gathered}$$
   那么长度为2且满足题意的数列数就是把$B=i$的每一种情况加起来。
   $$长度为2且满足题意的数列数=\sum _{B=1}^k(k-B与A不满足条件3的数列数)$$

3. 到这里看出来这是一个动态规划问题，长度为i的数列数是可以由子问题——长度为i-1的数列数计算而来的。设$dp[i][j]$——长度为$i$且第$i$位数为$j$的满足题意的数列总数

4. 考虑数列长度=i-1的情况，设数列的第i-1位数为$A(A=1,...,k)$。那么

$$长度为i-1且满足题意的数列数=\sum _{j=1}^{k}dp[i-1][j]$$

5. 考虑数列长度=i的情况，显然这是在长度为i-1的数列后新加一位数，设新加的这位数为$B$。要满足题意必须保证$A$与$B$满足条件3，因此对于$B=j(j=1,...,k)$的每一种情况，有（由4，$A=j$）
   $$\begin{gathered} 长度为i,B取j且满足题意的数列数=dp[i][j] \\ =长度i-1的数列数-B与A不满足条件3的数列数 \\ =(\sum _{A=1}^{k}dp[i-1][A])-B与A不满足条件3的数列数 \\ =\sum _{A=1}^{k}if(A\%j!=0||A\le j)dp[i-1][A] \end{gathered}$$

上式第3行即状态转移方程：
$$\begin{array}{r}dp[i][j]=\sum _{A=1}^{k}if(A\%j!=0||A\le j)dp[i-1][A]\end{array}$$
一般地，对于长度为$i$的数列，其满足题意的数目如下式：
$$\begin{array}{c}长度为i且满足题意的数列数=\sum _{j=1}^{k}dp[i][j]\end{array}$$

import sys

global max_k,mod
max_k = 1e5+5
mod = 1000000007

"""dp[i][j]——在由i个数字组成的数列中，第i位数为j的被小易喜欢的数列"""

for line in sys.stdin:
    a = line.split()
    n = int(a[0])
    k = int(a[1])

    # dp数组初始化
    dp = [([0]*(k+1))for i in range(0, n+1)]
    for j in range(1, k+1):
        dp[1][j] = 1 #在由1位数字组成的数列中，第1位数位j的且符合题意的数列一定只有一种
	
	#状态转移
    for i in range(2, n+1): #分别遍历由2,...,n位数字组成的数列

        # 计算由i-1位数字组成的所有数列的总数
        all = 0 #all存储由i-1位组成的所有数列的总数
        for j in range(1, k+1):
            all += dp[i-1][j]

        for j in range(1, k+1):
            dp[i][j] = all
            #将dp[i][j]减去由i-1位数字组成且第i-1位的数字为j的倍数的数列
            p = 2*j
            while p <= k: #p是j的倍数且p<=k
                dp[i][j] -= dp[i-1][p]
                p += j
            dp[i][j] %= mod

    #计算最终结果
    result = 0
    for j in range(1, k+1):
        result += dp[n][j]
    result %= mod
    print(result)

参考题解：https://www.cnblogs.com/peterleee/p/10851821.html
https://www.freesion.com/article/3332778970/。