矩阵分解入门——LU分解

LU分解

LU分解简介

LU分解是矩阵因式分解的一种，也叫Doolittle分解。旨在将$Ax=b$中的矩阵$A$表示为两个或多个矩阵的乘积。LU分解是将矩阵$A$分解为一个下三角矩阵(Lower Triangular)$L$和一个上三角矩阵(Upper Triangular)$U$。形象一点可写为
$$A=◣\times ◥$$

LU分解与高斯分解的对比

高斯分解法的乘法计算量为
$$\begin{array}{rl}分解过程的计算量：& \sum _{k=1}^{n-1}(n-k)(n-k+2)\\ & =\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}-\frac{5}{6}n\\ 求解过程的计算量：& \sum _{k=1}^{n-1}(n-k+1)(n-k+2)\\ & =\frac{n^2+n}{2}\end{array}$$
LU分解法的乘法计算量为
$$\begin{gathered} 分解过程A=LU的计算量：\frac{2n^3}{3} \\ 计算过程Ly=b的计算量级：\frac{n^2}{2} \\ 计算过程Ux=y的计算量级：\frac{n^2}{2} \end{gathered}$$

高斯消元法与LU分解的分解过程计算量都是$O(n^3)$量级，求解过程是$O(n^2)$量级。但是LU的分解过程可以离线处理好，在线使用时可以直接进入求解过程，这是LU分解相对高斯分解法的优点。

LU的主要用途

LU主要用来加快求解方程组的速度，常用于二次型矩阵求解。LU分解是接近中小规模、稠密矩阵的最好方法。假设$A=LU$后，原方程$Ax=b$可写为$LUx=b$，此时令$Ux=y$，即可通过一对方程来求解$x$，写作
$$\{\begin{array}{l}Ly=b\\ Ux=y\end{array}$$
求解过程可转换为
$$\begin{gathered} LUx=b \\ \begin{array}{rl}& \\ \Rightarrow x& =(LU{)}^{-1}b\\ & =U^{-1}{L}^{-1}b\end{array} \end{gathered}$$
实际应用中，矩阵$A$往往是固定的，而右侧向量$b$经常会替换。当矩阵$A$被分解后，$L$,$U$可充分利用，提高效率。

使用LU矩阵的注意事项

• 有些有解的问题不能通过LU分解来求解
• 如果某些主元过小，会引入较大的误差
  • 选主元时尽量选最大数所在的行，然后将其交换到第一行

初等矩阵与消元

以下以$A$矩阵为例开展相关的LU分解
A = [ 1 5 − 3 − 2 − 7 3 4 9 6 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & -3 \\ -2 & -7 & 3 \\ 4 & 9 & 6 \end{bmatrix} A= ​1−24​5−79​−336​ ​

• 基本假设：

  • 矩阵为方阵，并且可逆
  • 消元时不需要进行行交换

• 消元顺序
  通常手动消元的时候，消元顺序不是固定的，但是在LU分解时，消元顺序是固定的，即以第一行为主元，依次向下消元，最终消元为一个上三角矩阵。如果是4*4的矩阵，消元顺序为$r_2{r}_1\to r_3{r}_1\to r_4{r}_1\to r_3{r}_2\to r_4{r}_2\to r_4{r}_3$，共消元6次；如果是n*n矩阵，则总共需要$1+2+3+\cdot +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$次消元。参考实例如下
  A = [ 1 5 − 3 − 2 − 7 3 4 9 6 ] → r 2 + 2 r 1 E 21 [ 1 5 3 0 3 − 3 4 9 6 ] → r 3 − 4 r 1 E 31 [ 1 5 3 0 3 − 3 0 − 11 18 ] → r 3 + 11 3 r 2 E 32 [ 1 5 3 0 3 − 3 0 0 7 ] = U A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & -3 \\ -2 & -7 & 3 \\ 4 & 9 & 6 \end{bmatrix}\xrightarrow[r_2+2r_1]{E_{21}} \begin{bmatrix} 1 & 5 &3 \\0 & 3 &-3 \\4 & 9 & 6 \end{bmatrix} \xrightarrow[r_3-4r_1]{E_{31}} \begin{bmatrix} 1 & 5 &3 \\0 & 3 &-3 \\0 & -11 & 18 \end{bmatrix} \xrightarrow[r_3+\frac{11}{3}r_2]{E_{32}} \begin{bmatrix} 1 & 5 &3 \\0 & 3 &-3 \\0 & 0 & 7 \end{bmatrix} =U A= ​1−24​5−79​−336​ ​E21​ r2​+2r1​​ ​104​539​3−36​ ​E31​ r3​−4r1​​ ​100​53−11​3−318​ ​E32​ r3​+311​r2​​ ​100​530​3−37​ ​=U

上式中的消元变换过程为
$$E_{32}{E}_{31}{E}_{21}A=U$$

其中的变换矩阵写作矩阵形式，有
E 21 = [ 1 0 0 2 1 0 0 0 1 ] E 31 = [ 1 0 0 0 1 0 − 4 0 1 ] E 32 = [ 1 0 0 0 1 0 0 11 3 1 ] E_{21} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \hspace{1cm} E_{31} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end{bmatrix} \hspace{1cm} E_{32} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & 1 \end{bmatrix} E21​= ​120​010​001​ ​E31​= ​10−4​010​001​ ​E32​= ​100​01311​​001​ ​
因此，因式矩阵$A$可写作
$$\begin{array}{rl}A& =(E_{32}{E}_{31}{E}_{21}{)}^{-1}U\\ & =LU\end{array}$$
式中有
E 32 E 31 E 21 = [ 1 0 0 2 1 0 10 3 11 3 1 ] L = ( E 32 E 31 E 21 ) − 1 = [ 1 0 0 − 2 1 0 4 − 11 3 1 ] \begin{split} E_{32}E_{31}E_{21} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ \frac {10}{3} & \frac{11}{3} & 1 \end{bmatrix} \\ L = (E_{32}E_{31}E_{21})^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -\frac{11}{3} & 1 \end{bmatrix} \\ \end{split} E32​E31​E21​= ​12310​​01311​​001​ ​L=(E32​E31​E21​)−1= ​1−24​01−311​​001​ ​​
原变换矩阵$E_{32}{E}_{31}{E}_{21}$，会在矩阵(3,1)中引入一个无实际意义的$\frac{10}{3}$，而改写的$L$矩阵，其中的(2,1)(3,1)(3,2)位置对应的则刚好均是初等变换矩阵$E_{21}$、$E_{31}$、$E_{32}$中实际变换位置处元素的相反数，这就是LU分解的优点：只保留了消元过程中最关键的消元信息，同时其上/下三角矩阵形式减少了大量计算量。

LU分解与配方法

$$\begin{array}{rl}f& =x_1^2+2x_2^2+6x_3^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_3+2x_2{x}_3\\ & =(x_1+x_2-x_3{)}^2+(x_2+2x_3{)}^2+x_3^2\end{array}$$
上式中二次型所对应的矩阵$A$为
A = [ 1 1 − 1 1 2 1 − 1 1 6 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 6 \end{bmatrix} A= ​11−1​121​−116​ ​
对其进行LU分解，过程可写作
A = [ 1 1 − 1 1 2 1 − 1 1 6 ] → [ 1 0 0 − 1 1 0 0 0 1 ] E 21 [ 1 1 − 1 0 1 2 − 1 1 6 ] → [ 1 0 0 0 1 0 1 0 1 ] E 31 [ 1 1 − 1 0 1 2 0 2 5 ] → [ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] E 32 [ 1 1 − 1 0 1 2 0 0 1 ] = U A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 6 \end{bmatrix}\xrightarrow[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}]{E_{21}} \begin{bmatrix} 1 & 1 &-1 \\0 & 1 & 2 \\-1 & 1 & 6 \end{bmatrix} \xrightarrow[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}]{E_{31}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\0 & 1 & 2 \\0 & 2 & 5 \end{bmatrix} \xrightarrow[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}]{E_{32}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\0 & 1 &2 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix} =U A= ​11−1​121​−116​ ​E21​ [1−10​010​001​]​ ​10−1​111​−126​ ​E31​ [101​010​001​]​ ​100​112​−125​ ​E32​ [100​01−2​001​]​ ​100​110​−121​ ​=U
其变换矩阵为
L = ( E 32 E 31 E 21 ) − 1 = [ 1 0 0 1 1 0 − 1 2 1 ] \begin{split} L = (E_{32}E_{31}E_{21})^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \\ \end{split} L=(E32​E31​E21​)−1= ​11−1​012​001​ ​​
$L$和$U$矩阵一个为上三角矩阵，另一个为下三角矩阵。$L$矩阵中同样是对应位置为初等变换矩阵系数的相反数，例如$E_{21}$的（2,1）位置的值为$L$矩阵对应位置的相反数，$E_{31}$与$E_{32}$同理。此外还有
A = L U = [ 1 0 0 1 1 0 − 1 2 1 ] [ 1 1 − 1 0 1 2 0 0 1 ] f = ( x 1 + x 2 − x 3 ) 2 + ( x 2 + 2 x 3 ) 2 + x 3 2 A = LU = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\0 & 1 &2 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ f = (x_1 + x_2 - x_3)^2 + (x_2 + 2x_3)^2 + x_3^2 A=LU= ​11−1​012​001​ ​ ​100​110​−121​ ​f=(x1​+x2​−x3​)2+(x2​+2x3​)2+x32​

注意$L$的列以及$U$的对角线

$L$每一列对应配方后每一个平方项中各个未知数的系数，而$U$每个对角线上的值对应配方后每个平方项的系数，写作
$$\begin{array}{rl}f& =1\times [1\ast x_1+1\ast x_2+(-1)\ast x_3{]}^2+1\times (1\ast x_2+2\ast x_3{)}^2+1\times (1\ast x_3{)}^2\\ & =(x_1+x_2-x_3{)}^2+(x_2+2x_3{)}^2+x_3^2\end{array}$$

实际效果对比(matlab)

在matlab平台上对比直接求逆求解与LU分解的效率，代码如下

A = rand(10000,10000); %系数矩阵
B = rand(10000,1); %求解目标矩阵

tic
x = inv(A)*B;  % 利用求逆求解
toc

[L,U] = lu(A);  % LU分解
tic
x = (L*U)\B;
toc

结果如下

由上图可见，LU分解比直接求逆求解的效率快百分之十五左右。

使用LU分解中的一些特例

$A$矩阵中主元（位于第一行第一列的元素）为0

如果有一个待LU分解的二次型方程为
$$f=2x_2^2+2x_3^2+4x_1{x}_2-4x_1{x}_3+8x_2{x}_3$$
它的$A$矩阵为
A = [ 0 2 − 2 2 2 4 − 2 4 2 ] A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 4 \\ -2 & 4 & 2 \end{bmatrix} A= ​02−2​224​−242​ ​
它的主元（位于第一行第一列的元素）为0，不能直接进行LU分解。

• 处理方法：矩阵变换之前先将$x_1$与任意一个二次项系数不为0的行($x_n$)交换，在LU分解完之后换回$x_1$与$x_n$
  本例选择$x_1$与$x_2$交换，原式改写为
  $$f^{\prime }=2x_1^2+2x_3^2+4x_2{x}_1-4x_2{x}_3+8x_1{x}_3$$
  它的$A^{\prime }$矩阵为
  A ′ = [ 2 2 4 2 0 − 2 4 − 2 2 ] A' = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & -2 \\ 4 & -2 & 2 \end{bmatrix} A′= ​224​20−2​4−22​ ​
  正常进行LU分解
  A ′ = [ 2 2 4 2 0 − 2 4 − 2 2 ] → [ 1 0 0 − 1 1 0 0 0 1 ] E 21 [ 2 2 4 0 − 2 − 6 4 − 2 2 ] → [ 1 0 0 0 1 0 − 2 0 1 ] E 31 [ 2 2 4 0 − 2 − 6 0 − 6 − 6 ] → [ 1 0 0 0 1 0 0 − 3 1 ] E 32 [ 2 2 4 0 − 2 − 6 0 0 12 ] = U ′ A' = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & -2 \\ 4 & -2 & 2 \end{bmatrix}\xrightarrow[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}]{E_{21}} \begin{bmatrix} 2 & 2 &4 \\0 & -2 & -6 \\4 & -2 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}]{E_{31}} \begin{bmatrix} 2 & 2 &4 \\0 & -2 & -6 \\0 & -6 & -6 \end{bmatrix} \xrightarrow[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{bmatrix}]{E_{32}} \begin{bmatrix} 2 & 2 &4 \\0 & -2 & -6 \\0 & 0 & 12 \end{bmatrix} =U' A′= ​224​20−2​4−22​ ​E21​ [1−10​010​001​]​ ​204​2−2−2​4−62​ ​E31​ [10−2​010​001​]​ ​200​2−2−6​4−6−6​ ​E32​ [100​01−3​001​]​ ​200​2−20​4−612​ ​=U′
  所以有
  L ′ = ( E 32 E 31 E 21 ) − 1 = [ 1 0 0 − E 21 ( 2 , 1 ) 1 0 − E 31 ( 3 , 1 ) − E 32 ( 3 , 2 ) 1 ] = [ 1 0 0 1 1 0 2 3 1 ] A ′ = L ′ U ′ = [ 1 0 0 1 1 0 2 3 1 ] [ 2 2 4 0 − 2 − 6 0 0 12 ] L'= (E_{32}E_{31}E_{21})^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\-E_{21}(2,1) & 1 & 0 \\-E_{31}(3,1) & -E_{32}(3,2) & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\1 & 1 & 0 \\2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\\ A' = L'U' = \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\1 & 1 & 0 \\2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 &4 \\0 & -2 & -6 \\0 & 0 & 12 \end{bmatrix} L′=(E32​E31​E21​)−1= ​1−E21​(2,1)−E31​(3,1)​01−E32​(3,2)​001​ ​= ​112​013​001​ ​A′=L′U′= ​112​013​001​ ​ ​200​2−20​4−612​ ​
  此时，二次型为
  $$f^{\prime }=2(x_1+x_2+2x_3{)}^2-2(x_2+3x_3{)}^2+12x_3^2$$
  换回$x_1$与$x_2$，所以原式的二次型为
  $$f=2(x_2+x_1+2x_3{)}^2-2(x_1+3x_3{)}^2+12x_3^2$$
• 验证
  $$\begin{array}{rl}f& =2(x_2+x_1+2x_3{)}^2-2(x_1+3x_3{)}^2+12x_3^2\\ & =(2x_1^2+4x_1{x}_2+8x_1{x}_3+2x_2^2+8x_2{x}_3+8x_3^2)-\\ & (2x_1^2+12x_1{x}_3+18x_3^2)+12x_3^2\\ \Rightarrow & =2x_2^2+2x_3^2+4x_1{x}_2-4x_1{x}_3+8x_2{x}_3\end{array}$$
  结果与原式确实相等，说明该方法成立

LU分解后$U$为非满秩

如果出现LU分解后$U$为非满秩这种情况
A = L U = [ 1 0 0 1 1 0 2 1 1 ] [ 1 1 2 0 − 3 − 3 0 0 0 ] A = LU = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\0 & -3 &-3 \\0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ A=LU= ​112​011​001​ ​ ​100​1−30​2−30​ ​

• 处理方法，参考LU分解与配方法中的基本公式进行计算，写作
  $$\begin{array}{rl}f& =1\times (1\ast x_1+1\ast x_2+2\ast x_3{)}^2+(-3)\times (1\ast x_2+2\ast x_3{)}^2+0\times (1\ast x_3{)}^2\\ & =(x_1+x_2+2x_3{)}^2-3(x_2+2x_3{)}^2\end{array}$$

LU分解的推广1——LDU分解

• 概念
  LU的推广形式为LDU，$D$为对角矩阵(Diagonal)，形象一点可写作
  $$A=◣\times \ddots \times ◥$$
  $D$中的元素是U中提取出的对角元素。

• 一个实例
  A = [ 2 1 1 0 4 3 3 1 8 7 9 5 6 7 9 8 ] A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 3 & 1 \\ 8 & 7 & 9 & 5 \\ 6 & 7 & 9 & 8 \end{bmatrix} \\ A= ​2486​1377​1399​0158​ ​
  A = [ 2 1 1 0 4 3 3 1 8 7 9 5 6 7 9 8 ] → [ 1 0 0 0 − 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] E 21 [ 2 1 1 0 0 1 1 1 8 7 9 5 6 7 9 8 ] → [ 1 0 0 0 0 1 0 0 − 4 0 1 0 0 0 0 1 ] E 31 [ 2 1 1 0 0 1 1 1 0 3 5 5 6 7 9 8 ] → [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − 3 0 0 1 ] E 32 → E 32 [ 2 1 1 0 0 1 1 1 0 3 5 5 0 4 6 8 ] → [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 − 3 1 0 0 0 0 1 ] E 32 [ 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 2 2 0 4 6 8 ] → [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 − 4 0 1 ] E 42 [ 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 2 2 0 0 2 4 ] → [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 − 1 1 ] E 43 → E 43 [ 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 2 2 0 0 0 2 ] = U \begin{split} &A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 3 & 1 \\ 8 & 7 & 9 & 5 \\ 6 & 7 & 9 & 8 \end{bmatrix} \xrightarrow[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}]{E_{21}} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 8 & 7 & 9 & 5 \\ 6 & 7 & 9 & 8 \end{bmatrix} \xrightarrow[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}]{E_{31}} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 5 \\ 6 & 7 & 9 & 8 \end{bmatrix} \xrightarrow[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}]{E_{32}} \\ &\xrightarrow{E_{32}} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix} \xrightarrow[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}]{E_{32}} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix} \xrightarrow[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 1 \end{bmatrix}]{E_{42}} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \xrightarrow[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}]{E_{43}} \\ &\xrightarrow{E_{43}} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} =U \end{split} ​A= ​2486​1377​1399​0158​ ​E21​ ​1−200​0100​0010​0001​ ​​ ​2086​1177​1199​0158​ ​E31​ ​10−40​0100​0010​0001​ ​​ ​2006​1137​1159​0158​ ​E32​ ​100−3​0100​0010​0001​ ​​E32​ ​ ​2000​1134​1156​0158​ ​E32​ ​1000​01−30​0010​0001​ ​​ ​2000​1104​1126​0128​ ​E42​ ​1000​010−4​0010​0001​ ​​ ​2000​1100​1122​0124​ ​E43​ ​1000​0100​001−1​0001​ ​​E43​ ​ ​2000​1100​1120​0122​ ​=U​
  A = L U = [ 1 0 0 0 2 1 0 0 4 3 1 2 3 4 1 1 ] [ 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 2 2 0 0 0 2 ] A = LU = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} A=LU= ​1243​0134​0011​0021​ ​ ​2000​1100​1120​0122​ ​
  转写为LDU分解即为
  A = L D U = [ 1 0 0 0 2 1 0 0 4 3 1 2 3 4 1 1 ] [ 2 1 2 2 ] [ 1 1 2 1 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ] A = LDU = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & & & \\ & 1 & & \\ & & 2 & \\ & & & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac 12 & \frac 12 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A=LDU= ​1243​0134​0011​0021​ ​ ​2​1​2​2​ ​ ​1000​21​100​21​110​0111​ ​

LU分解的推广2——Crout分解

Crout分解即是在LDU分解的基础上，把LD的乘积作为另一个矩阵，写作
A = L D U = [ 1 0 0 0 2 1 0 0 4 3 1 2 3 4 1 1 ] [ 2 1 2 2 ] [ 1 1 2 1 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ] C r o u t 分解 ⇒ [ 2 0 0 0 4 1 0 0 8 3 2 4 6 4 2 2 ] [ 1 1 2 1 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ] \begin{split} &A = LDU = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & & & \\ & 1 & & \\ & & 2 & \\ & & & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac 12 & \frac 12 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &Crout分解 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 3 & 2 & 4 \\ 6 & 4 & 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac 12 & \frac 12 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \end{split} ​A=LDU= ​1243​0134​0011​0021​ ​ ​2​1​2​2​ ​ ​1000​21​100​21​110​0111​ ​Crout分解⇒ ​2486​0134​0022​0042​ ​ ​1000​21​100​21​110​0111​ ​​