C++矩阵例题分析(1)

一、概念

在计算机编程中，矩阵是一个非常常见的概念，它在各种计算和数据处理任务中发挥着关键作用。在C++中，我们通常使用二维数组来表示矩阵，并使用循环结构进行操作。本文将介绍几个常见的C++矩阵问题，包括旋转和大小控制，以及如何在不使用标准库函数的情况下实现这些操作。

※一定注意，在不会作答的时候不要改了试、改了试，要静下心，重新读题，抓住关键。最好的办法就是画图，可以帮助你高效地理解题目含义和隐藏信息。不要看网上乱七八糟的公式，否则思路中断。相信自己开始的思路。

二、矩阵的旋转

1.顺时针旋转矩阵

(1)画图

顺时针旋转一个矩阵的逻辑看似简单，实际操作还是比较困难的。我们可以尝试不改变数组的值，只改变输出的顺序。这样可以最简洁、最直观地运行正确结果。观察一下未旋转的数字和旋转过的数组：

// 未旋转的数组
// 数字
1 2 3
4 5 6
7 8 9

// 索引
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)



// 旋转后的数组
// 数字
7 4 1
8 5 2
9 6 3

//索引
(3,1) (2,1) (1,1)
(3,2) (2,2) (1,2)
(3,3) (2,3) (1,3)

(2)总结规律

我们可以观察到，每次索引(i,j)的变化应该如下图：

i的变化	j的变化
3	1
2	1
1	1
3	2
2	2
1	2
3	3
2	3
1	3

(3)写代码

i的变化应该是不断减少的，在减少到1的时候会开启下一个循环；j则是每个循环都增加1。知道了这个变化规律以后，我们可以写出如下代码：

#include 
using namespace std;

int main()
{
    int size;
    cin >> size; // 题目保证1<=size<=100
    int matrix[105][105] = {}; // 为了防止下标越界，多开5格存储
    for (int i = 1; i <= size; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= size; j++)
        {
            cin >> matrix[i][j]; // 按照习惯，索引直接从1开始
        }
    }
    for (int j = 1; j <= size; j++)
    {
        for (int i = size; i >= 1; i--)
        {
            cout << matrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

2.逆时针旋转矩阵 

(1)画图

一样的方法，换汤不换药。按照之前的方法，先画出图，方便我们理解。

// 未旋转的数组
// 数字
1 2 3
4 5 6
7 8 9

// 索引
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)



// 旋转后的数组
// 数字
3 6 9
2 5 8
1 4 7

//索引
(1,3) (2,3) (3,3)
(1,2) (2,2) (3,2)
(1,1) (2,1) (3,1)

(2)总结规律

索引(i,j)的变化应该是：

i的变化	j的变化
1	3
2	3
3	3
1	2
2	2
3	2
1	1
2	1
3	1

(3)写代码

同样，只是改变输出顺序，并没有改变数组中的值。

#include 
using namespace std;

int main()
{
    int size;
    cin >> size; // 题目保证1<=size<=100
    int matrix[105][105] = {}; // 为了防止下标越界，多开5格存储
    for (int i = 1; i <= size; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= size; j++)
        {
            cin >> matrix[i][j]; // 按照习惯，索引直接从1开始
        }
    }
    for (int j = size; j >= 1; j--)
    {
        for (int i = 1; i <= size; i++)
        {
            cout << matrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

3.镜面翻转和上下翻转矩阵

 (1)画图

·镜面翻转

// 未翻转的数组
// 数字
1 2 3
4 5 6
7 8 9

// 索引
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)



// 翻转后的数组
// 数字
3 2 1
6 5 4
9 8 7

//索引
(1,3) (1,2) (1,1)
(2,3) (2,2) (2,1)
(3,3) (3,2) (3,1)

·上下翻转

// 未翻转的数组
// 数字
1 2 3
4 5 6
7 8 9

// 索引
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)



// 翻转后的数组
// 数字
7 8 9
4 5 6
1 2 3

//索引
(3,1) (3,2) (3,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(1,1) (1,2) (1,3)

(2)总结规律

索引(i,j)的规律如下：

·镜面翻转

i的变化	j的变化
1	3
1	2
1	1
2	3
2	2
2	1
3	3
3	2
3	1

·上下翻转

i的变化	j的变化
3	1
3	2
3	3
2	1
2	2
2	3
1	1
1	2
1	3

(3)写代码

·镜面翻转

#include 
using namespace std;

int main()
{
    int size;
    cin >> size; // 题目保证1<=size<=100
    int matrix[105][105] = {}; // 为了防止下标越界，多开5格存储
    for (int i = 1; i <= size; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= size; j++)
        {
            cin >> matrix[i][j]; // 按照习惯，索引直接从1开始
        }
    }
    for (int i = 1; i <= size; i++) // 变得慢的放在外面
    {
        for (int j = size; j >= 1; j--) //  变得快的放在里面
        {
            cout << matrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

·上下翻转

#include 
using namespace std;

int main()
{
    int size;
    cin >> size; // 题目保证1<=size<=100
    int matrix[105][105] = {}; // 为了防止下标越界，多开5格存储
    for (int i = 1; i <= size; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= size; j++)
        {
            cin >> matrix[i][j]; // 按照习惯，索引直接从1开始
        }
    }
    for (int i = size; i >= 1; i--) // 变得慢的放在外面
    {
        for (int j = 1; j <= size; j++) //  变得快的放在里面
        {
            cout << matrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

三、矩阵的形状变化

从这一部分开始，就是最难的了。一般情况下，我们还是用三件套：画图、总结规律、写代码。也许，你的灵感产生于你的画图，可见画图是多么重要。

现在我们来看几个基础的矩阵形状变化的例题。

1.贪吃蛇矩阵

(1)了解题意，画图

贪吃蛇矩阵，就像贪吃蛇一样，会以标准的90度角扭来扭去。比如说：

1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
16 15 14 13

这里，我们可以看到，有一条贪吃蛇从索引(1,1)的位置开始，向右扭到(1,4)，然后向下走一个坐标。接着向左扭到(2,1)，再向下一格……以此类推。

一样的，反之字矩阵就是下面的样子（其实就是贪吃蛇矩阵的变形）：

16 15 14 13
9 10 11 12
8 7 6 5
1 2 3 4

(2)总结规律

下面是行数(l)、方向(dir)和索引(i,j)的关系图：

l	dir	i1	j1	i2	j2	i3	j3	i4	j4
1	右	1	1	1	2	1	3	1	4
2	左	2	4	2	3	2	2	2	1
3	右	3	1	3	2	3	3	3	4
4	左	4	4	4	3	4	2	4	1

这里我们可以观察到，灰色的行贪吃蛇都是朝右的，且j1至j4是不断增加的；白色的行贪吃蛇都是朝左的，且j1至j4是不断减少的。根据这个规律，可以列出公式：

1. 在l ≡ 1 (mod 2)的情况下，dir为"右"；否则为"左"。

2. 在l ≡ 1 (mod 2)的情况下，j(n) = j(n-1) + 1；否则j(n) = j(n-1) - 1。

3. 无论如何，i永远等于l。

其中，l ≡ 1 (mod 2)意思是，l除以2后余数为1，也就是行数为基数的情况下。

所以，我们就得到综合式：

l ≡ 1 (mod 2), dir = "右", j(n) = j(n-1) + 1

l ≡ 0 (mod 2), dir = "左", j(n) = j(n-1) - 1

(3)写代码

根据综合式，我们可以尝试写出代码。

#include 
using namespace std;

int main()
{
    int size;
    cin >> size;
    int matrix[105][105] = {};

    int number = 1;
    for (int i = 1; i <= size; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= size; j++)
        {
            if (i % 2 == 1)
            {
                matrix[i][j] = number;
            }
            else
            {
                matrix[i][size+1-j] = number;
            }
            number++;
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= size; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= size; j++)
        {
            cout << matrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

代码的核心在存储的过程中。首先要判断所在的行是不是奇数，是就从这个一位数组（也就是这一行）的第一个元素到最后一个元素进行正序存储，否则从第一个元素到最后一个元素进行倒序存储。

反之字矩阵也是一样：

#include 
using namespace std;

int main()
{
    int size;
    cin >> size;
    int matrix[105][105] = {};

    int number = size * size;
    for (int i = 1; i <= size; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= size; j++)
        {
            if (i % 2 == 1)
            {
                matrix[i][j] = number;
            }
            else
            {
                matrix[i][size+1-j] = number;
            }
            number--;
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= size; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= size; j++)
        {
            cout << matrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

2.扩张式矩阵

(1)了解题意，画图

例如，输入3，输出：

1 1 1 1 1
1 2 2 2 1
1 2 3 2 1
1 2 2 2 1
1 1 1 1 1

看起来非常难，但是我们可以总结出数字开始的索引：

1: (1,1)
2: (2,2)
3: (3,3)
…

(2)总结规律

根据数字和索引的规律，我们可以发现数字number开始的位置应该是(number,number)。知道了这个规律，我们就有了思路：重复地按照范围填充数字。比如说1，按照输入3的例子，它的范围是5*5，2是3*3，3是1*1。所以，我们可以增加一个范围变量，来存储其所在的范围。

(3)写代码

#include 
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int matrix[209][209] = {}; // 数组的宽度是1+(n-1)*2

    int number = 1;
    int scope = n;
    while (number <= n)
    {
        for (int i = number; i <= n-number; i++) // i从number开始
        {
            for (int j = number; j <= n-number; j++) // j也从number开始
            {
                matrix[i][j] = number;
            }
        }
        number++; // 每次存储完数字，都要存储下一个数字
        scope--; // 范围变得更小
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            cout << matrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}

以上就是一个可以实现生成回字形矩阵的代码。

这是我第一次写博客，如果有什么错误，可以及时评论纠正。感谢浏览！下期会讲更难的矩阵哦，尽情期待～