《数学分析八讲》(1)-连续统理论
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- 前言
- "连续统"问题的产生
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- 实数
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- 无理数的构造
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- 1
- 2
- 3
- 连续统涉及的运算
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- 排序
- 和
- 其他运算
- 连续性和稠密性
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- 基本引理
前言
《数学分析八讲》是俄罗斯数学家辛钦(辛钦大数定律的辛钦)的一本书。书中第一段话可以起到提纲挈领的作用:
我们必须毫不含糊地要求这个定义有完全的、无可指责的明确性，其中的每一个字都不应有引起一点怀疑的阴影。在此，极小的一点歧义都可能危及所构筑的庄严的大厦。这个大厦就是科学，它就是以此概念为基础建造起来的，而歧义会使得这座大厦不完善，需要从根本上重建。
第一讲的内容是"连续统"。
"连续统"问题的产生
最重要、最首要的数学分析概念-函数关系，其定义：如果对于变量 x x x的每一个值，变量 y y y都有唯一确定的值与之对应，那么 y y y称为 x x x的函数。
其中"每一个值"是什么意思？由此引出了实数的集合，即(线性)连续统。
实数
研究连续统首先应该研究实数。
1.整数
2.整数的比值-分数
1和2的集合就是全部有理数的集合。有理数(ratio nal)原意是为可比数。
3.无理数-不能由分数表示，如某些整数的平方根。
结合以上三点得出一个定义:
形如方程 P ( x ) = 0 P(x)=0 P(x)=0的所有实根为代数数。有理数即是 q x − p = 0 qx-p=0 qx−p=0的根。
注意，代数数并不是全体实数，对实数域的构造还没有完成。问题即"极限"这一分析运算，代数数序列的极限应该仍是代数数，否认极限的存在会导致如下问题:
取一个半径为1的圆，作出其内接正多边形，无限地增加其边数，则多边形的周长应该由代数数表示。这个代数数序列的极限显然就是圆的周长。否认这个极限是实数，即否认圆周长是实数。
圆周长不在代数数中(缺证明).至此，必须承认只有代数数是不够的，必须再给它添加新的实数：
所有非代数数的实数称为“超越数”。
圆周率就是一个超越数，自然数底e也是一个超越数。
总结上述过程：实数分为代数数和超越数。但超越数的定义仍是模糊不清的。
无理数的构造
构造原则：把所有有理数的集合作为最初的已知依据，用统一的构造原则得到所有的实数集合。这其中最重要的思想就是极限，极限过程在构造中起首要、主导作用。
采用“戴德金”的构造理论，多数教材都是用这一构造理论。
1
以 R R R表示有理数集合。则在任意两个有理数 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2之间总能找到第3个有理数.例如 r 1 + r 2 2 \frac{r_1+r_2}{2} 2r1+r2. 迭代一下，即得:两个有理数之间有无穷多个有理数。
2
考虑2的平方根。可以证明任何有理数的平方都不可能等于2.这表明:对于任意有理数 r r r,均有 r 2 > 2 r^2>2 r2>2或 r 2 < 2 r^2<2 r2<2.
此处只考虑正有理数，将 r 1 2 < 2 r_1^2<2 r12<2的归于A类，将 r 2 2 > 2 r_2^2>2 r22>2的归于B类.则可知 r 1 < r 2 r_1<r_2 r1<r2。即A的每一个数都小于B的每一个数。另外将0和负有理数归于A，则结论不变。
现在R分为了2个非空的类:A类，B类。由此得到了集合的一个确定的划分。如果这个划分的界限是一个确定的有理数，则是已知分割的界限。而A，B的界限是没有的，可以先假设AB的界限是一个有理数 r r r，研究 r 2 r^2 r2的归属问题，得出矛盾。
R的集合的所有分割分为：有界限和无界限。注意有界限是指界限是一个确定的有理数。
分割有以下性质:
1）一个分割不可能有2个界限。
2)如果界限存在，则界限是A最大的数或B类最小的数。界限不存在，则A中无最大的数，B中无最小的数
3)每一个有理数 r r r都是2个不同分割的界限。一个是A包含 r r r,一个是B包含 r r r。
4） R R R的任意分割都可以分为两种:有界限和无界限。
上面这段只用到了R是有理数集合，不涉及其他数。
3
无界限的分割，提出一个无理数与之对应，定义这个无理数就是这个分割的界限。
至此构成了所有的实数的集合，即连续统。它具有连续性，致密性。
连续统涉及的运算
要将有理数的运算重新推广到实数领域。
排序
两个实数 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2。如果都是有理数，则比较已经确定。如果只有 a 1 a_1 a1是无理数，则判别 a 2 a_2 a2属于 a 1 a_1 a1划分的哪个集合中可判断大小。如果都是无理数，不相同，则它们的分割也不相同。若能找到 a 1 < r < a 2 a_1<r<a_2 a1<r<a2，则排序确定。
证明 2 < 5 \sqrt{2}<\sqrt{5} 2<5.
先定义 2 \sqrt{2} 2的分割：如果有理数 r 2 > 2 r^2>2 r2>2则属于B类。考察有理数2，则4>2，因此2属于B类。同理可以得出2属于 5 \sqrt{5} 5划分的A类。因此 2 < 2 < 5 \sqrt{2}<2<\sqrt{5} 2<2<5.
直接考察 5 \sqrt{5} 5的平方而得出 5 \sqrt{5} 5属于 2 \sqrt{2} 2的B类，是错误的。因为AB中只有有理数。
由此定义可以得出无理数的不等式性质服从有理数之间同样的基本规律。
任意两个不同的无理数之间总能找到无数个有理数。利用无界限分割A不存在最大数，B不存在最小数。
这说明有理数集合处处稠密。也可以证明无理数也是处处稠密的，在此之前需要先定义其他无理数运算。
和
x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2是两个实数，以 ( A 1 , B 1 ) , ( A 2 , B 2 ) (A_1,B_1),(A_2,B_2) (A1,B1),(A2,B2)表示这2个分割. a 1 , b 1 , a 2 . b 2 a_1,b_1,a_2.b_2 a1,b1,a2.b2分别是 A 1 , A 2 , B 1 , B 2 A_1,A_2,B_1,B_2 A1,A2,B1,B2的任意有理数。任意 a 1 + a 2 < b 1 + b 2 a_1+a_2<b_1+b_2 a1+a2<b1+b2,如果存在实数 a a a使得
a 1 + a 2 < = a < = b 1 + b 2 a_1+a_2<=a<=b_1+b_2 a1+a2<=a<=b1+b2
则 a a a称为 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2的和。
其他运算
其后还有乘法的定义。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。
连续性和稠密性
集合 R R R非连续性表现在：存在一种划分，其界限不在 R R R中。
连续统的连续性表现在:连续统的任意划分的界限仍是属于连续统。这个命题可以证明。
基本引理
基本引理是为了研究方便，利用基本的构造定义，证明一些形式上容易利用的定理。
单调。有界:序列的任意元素的绝对值均小于c，则序列有界。这里涉及极限的标准定义。
- 任何单调有界序列都有极限。（有界确保存在上界或下界，单调可以确保界限稳定，满足极限定义)
- 若变量 x x x增加且趋近于 a a a,并且 f ( x ) f(x) f(x)在某个以 a a a为其右端的区间上单调有界，则当 x → a x\rightarrow a x→a时 f ( x ) f(x) f(x)趋近于确定的极限。
- 区间套引理：一个收缩的区间套，存在唯一的实数属于所有这些区间。(收缩的区间套可以想象称为一个不断收缩的区间的集合，必有一个点属于所有的这些区间）
- 海涅-博雷尔引理：如果开区间组M覆盖了[a，b]，则从中可以分出一个有限的开区间组N，也覆盖[a,b].
这些引理都不好理解，等需要用到的时候再来讨论研究。