实数系的公理系统

概述

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实数公理是在集合论发展的基础上，由***希尔伯特***于1899年首次提出的。后来他所提的公理系统在相容性与独立性方面得到了进一步改进，逐步演变为公理系统。

实数公理来源于实数理论的研究，实数理论包括对实数的结构,运算法则和拓扑性质等方面问题的研究。

实数系的公理系统

设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:

(I) 域公理

对任意a，b∈R，有R中唯一的元素a+b与唯一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b的和与积，满足：

1.（交换律） 对任意a，b∈R，有
a+b=b+a，a·b=b·a。

2.（结合律） 对任意a，b，c∈R，有
a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。

3.（分配律） 对任意a，b，c∈R，有
(a+b)·c=a·c+b·c。

4.（中性元） 对每个a∈R，存在R中唯一的元素，记为0，称为加法零元（或加法中性元）；对每个a∈R，存在R中唯一的元素，记为1，称为乘法单位元（或乘法中性元），使
a+0=a，a·1=a。

5.（逆元） 对每个a∈R，存在R中唯一的元素，记为-a，称为加法逆元；对每个a∈R*，存在R*中唯一的元素，记为a^(-1)，称为乘法逆元，使
a+(-a)=0。a·a^(-1)=1。

*6.（零元）对每个a∈R，存在R中唯一的元素，记为0，称为乘法零元，使
a·0=0。

（注1:公理6中的乘法零元即为4中的加法零元，且公理6是可以从之前的公理中推导出来的，因此也可以不单独列为公理；
注2:公理4、公理5、公理6中的“存在唯一的元素”也可以改为“存在元素”，唯一性可以由公理推导得到）

(II)序公理

(a)

在任意两个元素a，b∈R之间存在一种关系，记为“>”，使对任意a，b，c∈R，满足：

• 1.（三歧性） a>b,b>a,a=b三种关系中必有一个且仅有一个成立。
• 2.（传递性） 若a>b且b>c则a>c。
• *3.（与运算的相容性） 若a>b，则a+c>b+c；若a>b，c>0则ac>bc。

(b)

在任意两个元素a，b∈R之间存在一种关系，记为≥，使对任意a，b，c∈R，满足：

• 1.（自反性）a = a
• 2.（反对称性）若a ≥ b且b ≥ a那么a=b。
• 3.（传递性）若a ≥ b且b ≥ c则a ≥ c。
• *4.（与运算的相容性） 若a ≥ b，则a+c ≥ b+c；若a ≥ 0且b ≥ 0，则ab ≥ 0。

注1：对于序公理a，b这两种描述是等价的，且可以通过其中一个符号及其性质来定义另一个符号。
注2：“与运算的相容性”是可以从之前的公理中推导出来的，因此也可以不单独列为公理

(III)连续性公理

(1)完备性公理（连续性公理）

如果X与Y是R的非空子集，满足对每个x∈X，y∈Y，都有x y，则存在c∈R，使对任何x∈X，y∈Y，都有x >= c >= y。

称满足公理组I的集为域；
满足公理组I与II的集为有序域；
满足公理组I，II与(III)(1)的集为阿基米德有序域；
满足公理组I～III的集为完备阿基米德有序域或完备有序域。

这样，实数系就是完备阿基米德有序域。所有有理数的集合Q就是阿基米德有序域，但它不满足完备性公理。根据域公理，可以定义实数的减法和除法，并证明四则运算的所有性质。序公理的1与2表明关系“>”是R的全序。

用域公理和序公理可以定义正数、负数、不等式、绝对值，并证明它们具有通常的运算性质。加上阿基米德公理与完备性公理，可以证明实数的其他性质以及幂、方根、对数等的存在性。实数公理有多种不同的提法，常见的另一种提法是把公理组III换成

(2)'完备性公理（连续性公理）（戴德金定理）

若A，B是R的非空子集且 A∪B=R ，又对任意的x∈A 及任意的 y∈B 恒有x

这里把戴德金定理用作连续性公理。另一个常用作连续性公理的确界原理。公理组I～III与公理组I+II+(III)’是等价的，（注意不是III<=>(III)’，事实上仅有III=>(III)’）。

完备性公理还可以换成闭区间套定理的形式。类似地，单调收敛定理，聚点原理等也可用作连续性公理。公理组II也有其他提法。用公理定义了实数系R后，可以继续定义R的特殊元素正整数、整数等。例如，由数1生成的子加群Z={0,±1,±2,…}的元素称为整数；由数1生成的子域Q={p/q|p,q∈Z,q≠0}的元素称为有理数。

(3) 阿基米德公理

也称阿基米德性质，它并不是严格意义上的公理，可以由完备性公理证明。在欧几里得的几何书中，它仅被描述为一个命题。

阿基米德公理：对任意a，b∈R，a>0 存在正整数n，使na>b。

7个实数系的基本定理

• 确界存在定理、
• 单调有界定理、
• 有限覆盖定理、
• 聚点定理、
• 致密性定理、
• 闭区间套定理
• 柯西收敛准则

满足这些公理的任何集合R，都可被认为是实数集的具体实现，或称为实数模型。 需要说明的是，实数公理下的系统是相容的，范畴的（即上述第二个意义下的完备）。

从另外一个角度来想，`希尔伯特实数公理 是自上而下建立数系的，用公理规定实数，然后再定义整数、正整数直至自然数。那么反过来行不行呢，实数的这些公理能不能从其他的假设中推出来呢？ 事实上，这就是实数的构造理论所做的事了，在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》的绪论中，就展示了用戴德金分割的方法从有理数定义无理数的过程，从而建立了实数，而有理数是依赖于先建立整数的，整数又是依赖于先建立自然数的，当集合论发展起来之后，自然数又依靠集合来定义了（即皮亚诺公理），集合是最原始的概念，无法再定义的概念，整个自下而上的过程可以参见兰道的《分析基础》。** 因此无论是从上至下还是从下至上，整个数学的基础都建立在了集合论之上，数学再也不能排除掉集合这一概念了**，当英国数学家罗素发现了集合中的罗素悖论之后，引发了第三次数学危机，促使集合论又不得不加以改进，致使朴素集合论发展为近代集合论，现代的数学基础终于建立在了公理集合论的基础之上（ZFC公理系统）。