代码随想录刷题day52 300.最长递增子序列;674. 最长连续递增序列;718. 最长重复子数组

代码随想录刷题day52 300.最长递增子序列;674. 最长连续递增序列;718. 最长重复子数组

二维dp的初次应用,关于子序列的一系列问题。

300.最长递增子序列

300. 最长递增子序列 - 力扣(Leetcode)

子序列的一个入门题目。要点是两层遍历以及明确起始位置。

思路

最长上升子序列是动规的经典题目,这里dp[i]是可以根据dp[j] (j < i)推导出来的,那么依然用动规五部曲来分析详细一波:

  1. dp[i]的定义

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾最长上升子序列的长度

  1. 状态转移方程

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以:if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较,而是我们要取dp[j] + 1的最大值

  1. dp[i]的初始化

每一个i,对应的dp[i](即最长上升子序列)起始大小至少都是1.

  1. 确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长升序子序列 推导而来,那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是0到i-1,遍历i的循环在外层,遍历j则在内层,代码如下:

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
    if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}
  1. 举例推导dp数组

输入:[0,1,0,3,2],dp数组的变化如下:

代码随想录刷题day52 300.最长递增子序列;674. 最长连续递增序列;718. 最长重复子数组_第1张图片

以上五部分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() <= 1) return nums.size();
        vector<int> dp(nums.size(), 1);
        int result = 0;
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
        }
        return result;
    }
};

674. 最长连续递增序列

674. 最长连续递增序列 - 力扣(Leetcode)

其实贪心的方法反而更好理解一些。对于dp的过程来说,我觉得也有点像贪心。

思路

本题要求的是最长连续递增序列

动态规划

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i]:以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度为dp[i]

注意这里的定义,一定是以下标i为结尾,并不是说一定以下标0为起始位置。

  1. 确定递推公式

如果 nums[i + 1] > nums[i],那么以 i+1 为结尾的数组的连续递增的子序列长度 一定等于 以i为结尾的数组的连续递增的子序列长度 + 1 。

即:dp[i + 1] = dp[i] + 1;

因为本题要求连续递增子序列,所以就必要比较nums[i + 1]与nums[i],而不用去比较nums[j]与nums[i] (j是在0到i之间遍历)。

既然不用j了,那么也不用两层for循环,本题一层for循环就行,比较nums[i + 1] 和 nums[i]。

  1. dp数组如何初始化

以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度最少也应该是1,即就是nums[i]这一个元素。

所以dp[i]应该初始1;

  1. 确定遍历顺序

从递推公式上可以看出, dp[i + 1]依赖dp[i],所以一定是从前向后遍历。

本文在确定递推公式的时候也说明了为什么本题只需要一层for循环,代码如下:

for (int i = 0; i < nums.size() - 1; i++) {
    if (nums[i + 1] > nums[i]) { // 连续记录
        dp[i + 1] = dp[i] + 1; // 递推公式
    }
}
  1. 举例推导dp数组

已输入nums = [1,3,5,4,7]为例,dp数组状态如下:

代码随想录刷题day52 300.最长递增子序列;674. 最长连续递增序列;718. 最长重复子数组_第2张图片

注意这里要取dp[i]里的最大值,所以dp[2]才是结果!

以上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        int result = 1;
        vector<int> dp(nums.size() ,1);
        for (int i = 0; i < nums.size() - 1; i++) {
            if (nums[i + 1] > nums[i]) { // 连续记录
                dp[i + 1] = dp[i] + 1;
            }
            if (dp[i + 1] > result) result = dp[i + 1];
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)

贪心

这道题目也可以用贪心来做,也就是遇到nums[i + 1] > nums[i]的情况,count就++,否则count为1,记录count的最大值就可以了。

代码如下:

class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        int result = 1; // 连续子序列最少也是1
        int count = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size() - 1; i++) {
            if (nums[i + 1] > nums[i]) { // 连续记录
                count++;
            } else { // 不连续,count从头开始
                count = 1;
            }
            if (count > result) result = count;
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)

总结

要联动起来,才能理解递增子序列怎么求,递增连续子序列又要怎么求

概括来说:不连续递增子序列的跟前0-i 个状态有关,连续递增的子序列只跟前一个状态有关

718. 最长重复子数组

718. 最长重复子数组 - 力扣(Leetcode)

二维dp数组的使用。滚动数组优化的方法没理解,可能和背包问题一样,如果从前向后的话会有覆盖的问题,所以从后向前递推。

思路

注意题目中说的子数组,其实就是连续子序列。这种问题动规最拿手,动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j] :以下标i - 1为结尾的A,和以下标j - 1为结尾的B,最长重复子数组长度为dp[i][j]。 (特别注意: “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 )

此时细心的同学应该发现,那dp[0][0]是什么含义呢?总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。

其实dp[i][j]的定义也就决定着,我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。

那有同学问了,我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A,和以下标j 为结尾的B,最长重复子数组长度。不行么?

行倒是行! 但实现起来就麻烦一点,大家看下面的dp数组状态图就明白了。

  1. 确定递推公式

根据dp[i][j]的定义,dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候,dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

根据递推公式可以看出,遍历i 和 j 要从1开始!

  1. dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义,dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的!

但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值,因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

举个例子A[0]如果和B[0]相同的话,dp[1][1] = dp[0][0] + 1,只有dp[0][0]初始为0,正好符合递推公式逐步累加起来。

  1. 确定遍历顺序

外层for循环遍历A,内层for循环遍历B。

那又有同学问了,外层for循环遍历B,内层for循环遍历A。不行么?

也行,一样的,我这里就用外层for循环遍历A,内层for循环遍历B了。

同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。

代码如下:

for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
        if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
        }
        if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
    }
}
  1. 举例推导dp数组

拿示例1中,A: [1,2,3,2,1],B: [3,2,1,4,7]为例,画一个dp数组的状态变化,如下:

代码随想录刷题day52 300.最长递增子序列;674. 最长连续递增序列;718. 最长重复子数组_第3张图片

以上五部曲分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        vector<vector<int>> dp (A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));
        int result = 0;
        for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
            }
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度: O ( n × m ) O(n × m) O(n×m),n 为A长度,m为B长度
  • 空间复杂度: O ( n × m ) O(n × m) O(n×m)

滚动数组

在如下图中:

代码随想录刷题day52 300.最长递增子序列;674. 最长连续递增序列;718. 最长重复子数组_第4张图片

我们可以看出dp[i][j]都是由dp[i - 1][j - 1]推出。那么压缩为一维数组,也就是dp[j]都是由dp[j - 1]推出。

也就是相当于可以把上一层dp[i - 1][j]拷贝到下一层dp[i][j]来继续用。

此时遍历B数组的时候,就要从后向前遍历,这样避免重复覆盖

class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        vector<int> dp(vector<int>(B.size() + 1, 0));
        int result = 0;
        for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
            for (int j = B.size(); j > 0; j--) {
                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
                    dp[j] = dp[j - 1] + 1;
                } else dp[j] = 0; // 注意这里不相等的时候要有赋0的操作
                if (dp[j] > result) result = dp[j];
            }
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度: O ( n × m ) O(n × m) O(n×m),n 为A长度,m为B长度
  • 空间复杂度: O ( m ) O(m) O(m)

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