通信原理板块——循环码计算

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对生成多项式g(x)的理解与计算
(1)生成多项式g(x)
(n,k)循环码对应的生成多项式g(x)是(x^n+1)因子中的一个(n-k)次多项式
循环码的生成矩阵G与生成多项式g(x)的关系

(2)生成矩阵G、校验矩阵H、系统码A以及校正子
生成矩阵G是一个k×n阶(k行n列)矩阵，k为信息位长，n为码长

典型生成矩阵，具有[IkQ]形式的G矩阵
Ik为k×k阶矩阵；Q为k×r阶矩阵，是P的转置矩阵

由典型生成矩阵G得出的码组A中，信息位的位置不变，监督位附加于其后，这种形式的码称为系统码

监督矩阵H是一个r×n阶(r行n列)矩阵，r为监督位长，n为码长

典型监督矩阵，具有[PIr]形式的H矩阵
P为r×k阶矩阵；Ir为r×r阶矩阵

线性分组码的编码码组A满足:

线性分组码的译码码组B满足:

若校正子S＝0，表示接收码组B无错；
若校正子S≠0

E为错误图样，译码或者纠错后的码组A=B+E
S称为接收码组B的校正子
例题一：
由生成多项式g(x)=x^ 3+x^ 2+1构成码长为7的循环码。
①有多少个检验位？
②求相应的系统码生成矩阵和校验矩阵；
③若输入信息为1011，编出系统码；
④若接收码字为1101011，求其校正子（伴随式），是否是正确码？若为错码，纠正之。
解析：
①由g(x)=x^ 3+x^ 2+1构成码长为7的循环码，可得：
n-k=3,n=7，故r=3,有3个校验位
②由G(x)与g(x)的关系

可得：

将第2行与第3行异或，得到0101110
将第1行与0101110异或，得到1000110
将第3行与第4行异或，得到0010111
将第2行与0010111异或，得到0100011
故典型生成矩阵G

有G(典型)=[IkQ],H(典型)=[PIr],P为Q的转置
故典型校验矩阵H

③系统码A=[a6a5a4a3]G=1011100
④

校正子S=011,不为000,故为错码
当信息码为1101时，正确码为1101000
当监督码为011时，正确码为1001011
又因为接收码为1101011，纠错只能纠一位，故正确码为1001011
例题二：
已知（7，4）循环码的生成多项式为g(x)=x^3+x+1
①求相应的系统码生成矩阵和校验矩阵；
②若输入信息码为1010，编出系统码；
③若接收码为1100101，求其校正子（伴随式），是否为正确码？
解析：
①由g(x)=x^3+x+1的(7,4)循环码，可得：
n=7,n-k=3,k=4
由生成多项式G(x)与g(x)的关系

可得

将第2行与第4行异或，得到0100111
将第3行与第4行异或，得到0011101
将第1行与0011101异或，得到1000101
故典型生成矩阵G

有G(典型)=[IkQ],H(典型)=[PIr],P为Q的转置
故典型校验矩阵H

②系统码A=[a6a5a4a3]G=1010011
③

校正子S=101，故为错码
当信息码为1100时，正确码为1100010
当监督码为101时，正确码为1000101
因为接收码为1100101，纠错只能纠一位，故正确码为1000101
例题三：
已知g(x)=x^ 3+x+1是x^ 7+1的一个因式
①由g(x)所生成的循环码的n、k分别是多少；
②有信息码m(x)=x^ 3+x^ 2+1，求系统码；
③若接收c’(x)=x^ 6+x^ 5+x^ 4+x^ 2，判断是否正确，并给出检测过程
解析：
①g(x)=x^3+x+1是x7+1的一个因式可得
n=7,n-k=3,k=4
②由生成多项式G(x)与g(x)的关系

可得

将第2行与第4行异或，得到0100111
将第3行与第4行异或，得到0011101
将第1行与0011101异或，得到1000101
故典型生成矩阵G

系统码A=[a6a5a4a3]G=0001011
③由多项式可判断，接收码为1110100

S=000，正确码