代码随想录算法训练营第四十天丨 动态规划part03

343. 整数拆分

思路

看到这道题目,都会想拆成两个呢,还是三个呢,还是四个....

来看一下如何使用动规来解决。

动态规划

动规五部曲,分析如下:

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]。

dp[i]的定义将贯彻整个解题过程,下面哪一步想不懂了,就想想dp[i]究竟表示的是啥!

  • 确定递推公式

可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢?

其实可以从1遍历j,然后有两种渠道得到dp[i].

一个是j * (i - j) 直接相乘。

一个是j * dp[i - j],相当于是拆分(i - j),对这个拆分不理解的话,可以回想dp数组的定义。

那就问了,j怎么就不拆分呢?

j是从1开始遍历,拆分j的情况,在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j,比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

也可以这么理解,j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘,而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。

所以递推公式:dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

那么在取最大值的时候,为什么还要比较dp[i]呢?

因为在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i],取最大的而已。

  • dp的初始化

不少同学应该疑惑,dp[0] dp[1]应该初始化多少呢?

有的题解里会给出dp[0] = 1,dp[1] = 1的初始化,但解释比较牵强,主要还是因为这么初始化可以把题目过了。

严格从dp[i]的定义来说,dp[0] dp[1] 就不应该初始化,也就是没有意义的数值。

拆分0和拆分1的最大乘积是多少?

这是无解的。

这里我只初始化dp[2] = 1,从dp[i]的定义来说,拆分数字2,得到的最大乘积是1,这个没有任何异议!

  • 确定遍历顺序

确定遍历顺序,先来看看递归公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态,所以遍历i一定是从前向后遍历,先有dp[i - j]再有dp[i]。

注意 枚举j的时候,是从1开始的。从0开始的话,那么让拆分一个数拆个0,求最大乘积就没有意义了。

j的结束条件是 j < i - 1 ,其实 j < i 也是可以的,不过可以节省一步,例如让j = i - 1,的话,其实在 j = 1的时候,这一步就已经拆出来了,重复计算,所以 j < i - 1

至于 i是从3开始,这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。

更优化一步,可以这样:

for (int i = 3; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i - j; j++) {
        dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*dp[i-j],j*(i-j)));
    }
}

因为拆分一个数n 使之乘积最大,那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。

例如 6 拆成 3 * 3, 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。

只不过我们不知道m究竟是多少而已,但可以明确的是m一定大于等于2,既然m大于等于2,也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。

那么 j 遍历,只需要遍历到 n/2 就可以,后面就没有必要遍历了,一定不是最大值。

 “拆分一个数n 使之乘积最大,那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的” 

  • 举例推导dp数组

举例当n为10 的时候,dp数组里的数值,如下:

代码随想录算法训练营第四十天丨 动态规划part03_第1张图片

以上动规五部曲分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        //确定bp数组,及其下标含义
        // 对i进行拆分得到的最大数为dp[i]
        int[] dp = new int[n+1];
        //确定递推公式 dp[i] = Math.max(dp[i],j*dp[i-1]);
        //确定遍历顺序,从前往后,并举例推导
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i - j; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*dp[i-j],j*(i-j)));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}
  • 时间复杂度:O(n^2)
  • 空间复杂度:O(n)

96.不同的二叉搜索树

思路

这道题目描述很简短,但这得怎么统计呢?

关于什么是二叉搜索树,之前在讲解二叉树专题的时候详细讲解过了,可以看看这篇二叉树:二叉搜索树登场! (opens new window)再回顾一波。

了解了二叉搜索树之后,应该先举几个例子,画画图,看看有没有什么规律,如图:

代码随想录算法训练营第四十天丨 动态规划part03_第2张图片

n为1的时候有一棵树,n为2有两棵树,这个是很直观的。

代码随想录算法训练营第四十天丨 动态规划part03_第3张图片

来看看n为3的时候,有哪几种情况。

当1为头结点的时候,其右子树有两个节点,看这两个节点的布局,是不是和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的啊!

(可能有同学问了,这布局不一样啊,节点数值都不一样。别忘了我们就是求不同树的数量,并不用把搜索树都列出来,所以不用关心其具体数值的差异)

当3为头结点的时候,其左子树有两个节点,看这两个节点的布局,是不是和n为2的时候两棵树的布局也是一样的啊!

当2为头结点的时候,其左右子树都只有一个节点,布局是不是和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的啊!

发现到这里,其实我们就找到了重叠子问题了,其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。

思考到这里,这道题目就有眉目了。

dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

如图所示:

代码随想录算法训练营第四十天丨 动态规划part03_第4张图片

此时我们已经找到递推关系了,那么可以用动规五部曲再系统分析一遍。

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]

也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ,都是一样的。

以下分析如果想不清楚,就来回想一下dp[i]的定义

  • 确定递推公式

在上面的分析中,其实已经看出其递推关系, dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]

j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为止。

所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量

  • dp数组如何初始化

初始化,只需要初始化dp[0]就可以了,推导的基础,都是dp[0]。

那么dp[0]应该是多少呢?

从定义上来讲,空节点也是一棵二叉树,也是一棵二叉搜索树,这是可以说得通的。

从递归公式上来讲,dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0,也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1, 否则乘法的结果就都变成0了。

所以初始化dp[0] = 1

  • 确定遍历顺序

首先一定是遍历节点数,从递归公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出,节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。

那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态,用j来遍历。

代码如下:

for (int i = 2; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
    }
}
  • 举例推导dp数组

n为5时候的dp数组状态如图:

代码随想录算法训练营第四十天丨 动态规划part03_第5张图片

当然如果自己画图举例的话,基本举例到n为3就可以了,n为4的时候,画图已经比较麻烦了。

代码如下:

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        //确定dp数组及其下标的含义
        // 由i个结点构成的互不相同的二叉树有dp[i]个
        int[] dp = new int[n+1];
        //确定递推公式 dp[i]=2*dp[i-3]*dp[i-1] + dp[i-2]*dp[i-2];
        //dp数组初始化
        dp[0]=1;
        dp[1]=1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}
  • 时间复杂度:$O(n^2)$
  • 空间复杂度:$O(n)$

还行,基本上都有点自己的思路的,但是还是想不到具体的递推公式。

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