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函数极限求解方法归纳

1、连续函数直接代入值（加减不可以部分代入值）

例题1

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+xsinx} - cosx}{xsinx}

配凑构造等价无穷小

=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+xsinx} - 1)+(1-cosx)}{xsinx} \\ =\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+xsinx}}{xsinx} + \lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{xsinx}

等价无穷小

(1 + x)^a - 1 \sim ax(a \neq 0) \\ sinx \sim x \\ 1 - cosx \sim \frac{1}{2}x^2

=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}xsinx}{xsinx} + \lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2} \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ = 1

注意：不要在加减中部分使用等价无穷小，可以利用拆极限的方式求，拆出来的每一部分都要有极限，如果有一部分没有极限就是拆得有问题。

2、根式有理化（不限于分母或者分子，只要符合\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }型

例题1

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+xsinx} - cosx}{xsinx}

上下同乘\sqrt{1+xsinx}+cosx

=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+xsinx} - cosx) (\sqrt{1+xsinx} + cosx)}{xsinx(\sqrt{xsinx+1} + cosx)}

第一种解法中分子是加减法，不能将x趋于0，cosx等于1直接带入。使用根式有理化后分母是相乘的形式可以把\sqrt{xsinx + 1} +cosx看成整体求值结果为2

=\lim_{x \to 0}\frac{1+xsinx - cos^{2}x}{2x^2}

拆极限

=\lim_{x \to 0}\frac{1-cos^{2}x}{2x^2} + \lim_{x \to 0}\frac{xsinx}{2x^2}

sinx \sim x \\ cos^2x + sin^{2}x = 1\\

= \lim_{x \to 0}\frac{sin^{2}x}{2x^2} + \lim_{x \to 0}\frac{xsinx}{2x^2} \\ = 1

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