数据结构与算法（二）动态规划（Java）
目录
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- 一、简介
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- 1.1 什么是动态规划？
- 1.2 动态规划的两种形式
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- 1）自顶向下的备忘录法（记忆化搜索法）
- 2）自底向上的动态规划
- 3）两种方法对比
- 1.3 动态规划的 3 大步骤
- 二、小试牛刀：钢条切割
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- 2.1 题目描述
- 2.2 题目解析
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- 1）第一步：定义数组元素的含义
- 2）第二步：找出数组元素之间的关系
- 3）第三步：找出初始值
- 2.3 最优子结构
- 2.4 代码实现
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- 1）递归版本
- 2）备忘录版本
- 3）自底向上的动态规划
一、简介
1.1 什么是动态规划？
在说明动态规划前，我们先来了解一个小场景：
A: "1+1+1+1+1+1+1+1"
A: "上面等式的值是多少？"
B: "（计算...）" "8!"
A: "在上面等式的左边写上 '1+'，此时等式的值为多少？"
B: "（立刻回答）" "9!"
A: "你这次怎么这么快就知道答案了"
B: "只要在8的基础上加1就行了"
由上面的小故事可知，动态规划 就是 通过记住历史的求解结果来节省时间 。
1.2 动态规划的两种形式
示例：斐波那契数列，又称黄金分割数列，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34，递推公式为：
F ( 0 ) = 1 , F ( 1 ) = 1 , F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) , n > 2 , n ∈ N ∗ F(0)=1,F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2),n>2,n∈N^{*} F(0)=1,F(1)=1,F(n)=F(n−1)+F(n−2),n>2,n∈N∗
这个算法用递归来实现非常简单，代码如下：
public int fib(int n) {
if (n < 2) {
return 1;
}
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
先来分析一下递归算法的执行流程，假如输入 6，那么执行的递归树如下：
我们可以发现：
- 上面的递归树中，每一个结点都会执行一次；
- 很多结点被重复执行。
为了避免这种情况，我们可以把执行过的结点值保存下来，后面用到直接查表，这样可以节省大量时间。
下面看下保存历史记录的两种形式：自顶向下的备忘录法、自底向上的动态规划。
1）自顶向下的备忘录法（记忆化搜索法）
备忘录法，也叫记忆化搜索法，是比较好理解的：
- 创建了一个 n+1 大小的数组来保存求出斐波那契数列中的每一个值；
- 在递归的时候，如果发现之前已经算过了就不再计算；
- 如果之前没有计算，则计算后放入历史记录中。
public static void main(String[] args) {
int n = 6;
// 声明数组，用于记录历史，初始化为-1
int[] his = new int[n + 1];
Arrays.fill(his, -1);
System.out.println(fib(n, his));
}
public static int fib(int n, int[] his) {
if (n < 2) {
return 1;
}
// 读取历史
if (his[n] != -1) {
return his[n];
}
int result = fib(n - 1, his) + fib(n - 2, his);
// 记录历史
his[n] = result;
return result;
}
2）自底向上的动态规划
备忘录法还是利用了递归，不管怎样，当计算 fib(6) 的时候还是要去先计算出 fib(1) ~ fib(5)，那么为何不先计算出 f(1) ~ f(5) 呢？这就是动态规划的核心：先计算子问题，再由子问题计算父问题。
public static int fib(int n) {
int[] arr = new int[n + 1];
arr[0] = 1;
arr[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
arr[i] = arr[i - 2] + arr[i - 1];
}
return arr[n];
}
自底向上的动态规划方法也是利用数组保存了计算的值，为后面的计算使用。
内存空间优化：
我们观察上面的代码会发现：参与循环的只有 fib(i)、fib(i-1)、fib(i-2) 项，因此该方法的空间可以进一步的压缩如下：
public static int fib(int n) {
int num_i = 0;
int num_i_1 = 1;
int num_i_2 = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
num_i = num_i_2 + num_i_1;
num_i_2 = num_i_1;
num_i_1 = num_i;
}
return num_i;
}
3）两种方法对比
- 一般来说，由于备忘录的动态规划形式使用了递归，递归的时候会产生额外的开销，所以不推荐。
- 相比之下，使用自底向上的动态规划方法要好些，也更容易理解。
1.3 动态规划的 3 大步骤
动态规划，无非就是利用 历史记录，来避免我们的重复计算。这些历史记录的存储，一般使用 一维数组 或 二维数组 来保存。
第一步：定义数组元素的含义
- 上面说了，我们用一个数组来保存历史数据，假设用一维数组
dp[]来保存。这个时候有一个非常重要的点：如何规定数组元素的含义？ 即dp[i]代表什么意思？
第二步：找出数组元素之间的关系
- 动态规划类似于我们高中学习的
数学归纳法。当我们要计算d[i]时，可以利用 dp[i-1]、dp[i-2] … dp[1] 来推导证明。
第三步：找出初始值
- 学过
数学归纳法的都知道，虽然知道了数组元素之间的关系式后，可以通过 dp[i-1] 和 dp[i-2] 来计算 dp[i]，但是我们首先至少要知道dp[0]和dp[1]才能推导后面的值。dp[0] 和 dp[1] 就是所谓的初始值。
二、小试牛刀：钢条切割
2.1 题目描述
2.2 题目解析
1）第一步：定义数组元素的含义
由题目可知：
p[]是价格数组，长度为i英寸的钢条价格为p[i]；r[]是最大收益数组，长度为i英寸的钢条可以获得的最大收益为r[i]；- 钢条的价格不确定，可能切割的收益更高，也可能不切割的收益更高。
通过解析可知，数组元素含义： 长度为 i 英寸的钢条可以获得的最大收益为 r[i]。
注意： 这里的 收益是指价格的总和，比如：2 英寸的钢条切割后收益为：1+1=2，相比之下不切割的 5 收益更高。
2）第二步：找出数组元素之间的关系
假如我们要对长度为 4 英寸的钢条进行切割，所有切割方案如下：
由图可见，我们将 r[4] 的计算转换成了 r[1]~ r[3] 的计算。
r 4 = m a x ( r 1 + r 3 , r 1 + r 1 + r 2 , r 2 + r 2 , p 4 ) ; r_{4}=max(r_{1}+r_{3},r_{1}+r_{1}+r_{2},r_{2}+r_{2},p_{4}); r4=max(r1+r3,r1+r1+r2,r2+r2,p4);
以此类推，可以继续转换 r[3]：
由图可见，我们继续将 r[3] 的计算转换成了 r[1]~r[2] 的计算。
r 3 = m a x ( r 1 + r 2 , r 1 + r 1 + r 1 , p 3 ) r_{3}=max(r_{1}+r_{2},r_{1}+r_{1}+r_{1},p_{3}) r3=max(r1+r2,r1+r1+r1,p3)
以此类推，可以继续转换 r[2]：
由于 1 英寸的钢条无法切割，所以 r[1]=p[1]。
r 2 = m a x ( r 1 + r 1 , p 2 ) r_{2}=max(r_{1}+r_{1},p_{2}) r2=max(r1+r1,p2)
由于 r[2] 中包含了 r[1] + r[1]，那么 r[3] 中的：
m a x ( r 1 + r 2 , r 1 + r 1 + r 1 ) = m a x ( r 1 + r 2 ) max(r_{1}+r_{2},r_{1}+r_{1}+r_{1})=max(r_{1}+r_{2}) max(r1+r2,r1+r1+r1)=max(r1+r2)
由于 r[3] 中包含了 r[1] + r[2]，那么 r[4] 中的：
m a x ( r 1 + r 3 , r 1 + r 1 + r 2 ) = m a x ( r 1 + r 3 ) max(r_{1}+r_{3},r_{1}+r_{1}+r_{2})=max(r_{1}+r_{3}) max(r1+r3,r1+r1+r2)=max(r1+r3)
所以整理 r[1]、r[2]、r[3]、r[4] 为：
r 1 = p 1 r_{1}=p_{1} r1=p1
r 2 = m a x ( r 1 + r 1 , p 2 ) r_{2}=max(r_{1}+r_{1},p_{2}) r2=max(r1+r1,p2)
r 3 = m a x ( r 1 + r 2 , p 3 ) r_{3}=max(r_{1}+r_{2},p_{3}) r3=max(r1+r2,p3)
r 4 = m a x ( r 1 + r 3 , r 2 + r 2 , p 4 ) r_{4}=max(r_{1}+r_{3},r_{2}+r_{2},p_{4}) r4=max(r1+r3,r2+r2,p4)
根据公式进行递推， r[n] 为：
r n = m a x ( r 1 + r n − 1 , r 2 + r n − 2 , . . . , r n / 2 + r n − n / 2 , p n ) r_{n}=max(r_{1}+r_{n-1},r_{2}+r_{n-2},...,r_{n/2}+r_{n-n/2},p_{n}) rn=max(r1+rn−1,r2+rn−2,...,rn/2+rn−n/2,pn)
3）第三步：找出初始值
其实初始值我们在第二步已经找出来了：
r[1]=p[1]=1r[2]=max(r[1]+r[1],p[2])=5
2.3 最优子结构
通过该题我们注意到，为了求规模为n的原问题，我们 先求解形式完全一样，但规模更小的子问题。当完成首次 切割后，我们 将两段钢条看成两个独立的钢条切割问题实例。我们 通过组合两个相关子问题的最优解，并在所有可能的两段切割方案中选取组合收益最大者，构成原问题的最优解。
我们称 钢条切割问题 满足 最优子结构 性质：问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，而这些子问题可以独立求解。
2.4 代码实现
1）递归版本
递归很好理解，思路和回溯法是一样的，遍历所有解空间。但这里和上面斐波那契数列的不同之处在于：这里在每一层上都进行了一次最优解的选择，q=Math.max(q, p[i]+cut(n-i)); 这段代码就是选择最优解。
final static int[] p = {1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};
public static int cut(int n) {
if (n == 0) {
return 0;
}
int max = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
max = Math.max(max, p[i - 1] + cut(n - i));
}
return max;
}
2）备忘录版本
备忘录方法无非是在递归的时候记录下已经调用过的子函数的值。钢条切割问题的经典之处在于自底向上的动态规划问题的处理，理解了这个也就理解了动态规划的精髓。
public static int cutByHis(int n) {
int[] p = {1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};
int[] r = new int[n + 1];
for (int i = 0; i <= n; i++) {
r[i] = -1;
}
return cut(p, n, r);
}
public static int cut(int[] p, int n, int[] r) {
int q = -1;
if (r[n] >= 0)
return r[n];
if (n == 0)
q = 0;
else {
for (int i = 1; i <= n; i++)
q = Math.max(q, cut(p, n - i, r) + p[i - 1]);
}
r[n] = q;
return q;
}
3）自底向上的动态规划
自底向上的动态规划问题中最重要的是要理解在子循环遍历中的 i 变量，相当于上面两个方法中的 n 变量，i-j 主要用于获取历史计算过的问题值。
final static int[] p = {1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};
public static int cutByDP(int n) {
int[] r = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int q = -1;
for (int j = 1; j <= i; j++)
q = Math.max(q, p[j - 1] + r[i - j]);
r[i] = q;
}
return r[n];
}
整理完毕，完结撒花~
参考地址：
1.算法-动态规划 Dynamic Programming–从菜鸟到老鸟，https://blog.csdn.net/u013309870/article/details/75193592
2.告别动态规划，连刷40道动规算法题，我总结了动规的套路，https://blog.csdn.net/hollis_chuang/article/details/103045322