AcWing100.增减序列

题目

给定一个长度为 $n$ 的数列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，每次可以选择一个区间 $[l,r]$，使下标在这个区间内的数都加一或者都减一。

求至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样，并求出在保证最少次数的前提下，最终得到的数列可能有多少种。

输入格式

第一行输入正整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行输入一个整数，第 $i+1$ 行的整数代表 $a_i$。

输出格式

第一行输出最少操作次数。

第二行输出最终能得到多少种结果。

数据范围

• $0<n\le 10^5$
• $0\le a_i<2147483648$

输入样例

4
1
1
2
2

输出样例

1
2

分析

求出 $a$ 的差分序列 $b$，其中 $b_1=a_1，b_i=a_i-a_{i-1}（2\le i\le n）$。令 $b_{n+1}=0$。

题目对序列 $a$ 的操作，相当于每次选出 $b_1,b_2,...,b_{n+1}$ 中的任意两个数，一个加1，另一个减1。目标是把 $b_2,b_3，...,b_n$ 变为全0。最终得到的数列 $a$ 就是由 $n$ 个 $b_1$ 构成的。

从 $b_1,b_2,...,b_{n+1}$ 中任选两个数的方法可分为四类。

1. 选 $b_i$ 和 $b_j$，其中$2\le i,j\le n$。这种操作会改变 $b_2,b_3,...,b_n$ 中两个数的值。应该保证 $b_i$ 和 $b_j$ 一正一负的前提下，尽量多地采取这种操作，更快地接近目标。
2. 选 $b_1$ 和 $b_j$，其中 $2\le j\le n$。
3. 选 $b_i$ 和 $b_{n+1}$，其中 $2\le i\le n$。
4. 选 $b_1$ 和 $b_{n+1}$。这种情况没有意义，因为它不会改变 $b_2,b_3,...,b_n$ 的值（原序列 $a$ 的每个数都进行了相同的操作，所以差分没变），相当于浪费了一次操作，一定不是最优解。

设 $b_2,b_3,...,b_n$ 中正数总和为 $p$，负数总和为的绝对值为 $q$。首先以正负数配对的方式尽量执行第 1 类操作，可执行 $min(p,q)$ 次。剩余 $|p-q|$ 个未配对，每个可以选与 $b_1$ 或 $b_{n+1}$ 配对，即执行第 2 类或第 3 类操作，共需 $|p-q|$ 次。

综上所述，最少操作次数为 $min(p,q)+|p-q|=max(p,q)$ 次。根据 $|p-q|$ 次第2、第 3 类操作的选择情况，能产生 $|p-q|+1$ 种不同的 $b_1$ 的值（原本的 $b_1$ 是一种)，即最终得到的序列 $a$ 可能有 $|p-q|+1$ 种。

代码

#include 
#include 
using namespace std;

#define ll long long

const int N = 100010;

ll a[N]; //原数组

int main() {
    int n;
    
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
    
    //求差分序列：倒着求，因为要用到i-1位置的值，而该值是原数组的值
    for (int i = n; i > 1; i--) a[i] -= a[i - 1];
    
    //因为数组中值比较大，可能会溢出，所以使用long long
    //pos正数和，neg负数和
    ll pos = 0, neg = 0;
    //求拆分数组中所有正数的和 和 所有负数的和
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (a[i] > 0) pos += a[i];
        else neg -= a[i];
    }
    
    cout << min(pos, neg) + abs(pos - neg) << endl;
    cout << abs(pos - neg) + 1 << endl;
    return 0;
}