线性代数：向量空间 矩阵空间 秩 [上]

向量空间：

        若存在一个向量空间为，则该空间中有个元素，为维向量空间，表示如下：

矩阵的4个空间：

1.列空间：

        如上面的矩阵，由这n个m维向量所张成的空间就是矩阵的列空间，记作。

        例1：一个3×3矩阵

                       ，，

        显然，V1，V2，V3线性无关，有三个基底，对这三个列向量线性组合，可以表示三维空间中任一向量，意味着V1，V2，V3这3个矩阵的列向量张成的空间为一个3维空间，则矩阵的列空间为一个三维空间。

        例2：

                      ，，

        显然，线性相关，共有两个基底，在一个三维空间中，张成的一个二维平面上的任意一个向量。这时，的列空间为一个二维空间。

        总结：对任一个m×n的矩阵，以其n个列向量为基底张成的空间为该矩阵的列空间。可以想象，因为矩阵每一个列向量的维度为m维，其张成空间的最大维度必然为m维度，则矩阵A的列空间一定为或者空间的子空间。

2.零空间：

        矩阵A，向量x，若有，则所有满足条件的x集合成的空间为矩阵A的零空间，记做。

        对上矩阵，只有向量   才能满足条件，也即：矩阵A的零空间为一个0维度的空间(零空间≠0维空间)。

        对于矩阵，只有向量  (为任意实数)才能满足条件，矩阵的零空间为一个1维的空间(直线)。

3.行空间：

        与列空间相反，把所有的行看成向量，也能张成一个空间，该空间为A的行空间记作

4.左零空间：

        左零空间为矩阵A的转置的零空间。

矩阵的秩：

        矩阵的秩的定义为列空间的维度数，记为r，那么对于矩阵A1来说C(A1)的维度数位3，则矩阵的秩为3。此外，对于一个m×n的矩阵，零空间的维度和矩阵列空间的维度满足：零空间维度=n-r。

        如何理解这个n-r，我们来回顾下定义，本质上零空间为向量x经过A1投影后被投影到空间原点的x的集合，向量x为一个n维向量，投影结果为Ax，Ax为列空间中的一个向量其维度必然等于列空间的维度r，则必然有n-r个维度的"信息"被压缩，所以零空间的维度就必然等于n-r。（或者理解为，列空间补全了n-r个维度的信息后，可以变为原x所在的空间）