Codeforces Round #149 (Div. 2) E. XOR on Segment（拆位线段树）

题目链接:E. XOR on Segment

题目大意：

给定一个数列 a ，有 m 次操作。

• 操作1: 求出数组下标 [ l, r ] 中每个数字的和
• 操作2: 将区间 [ l, r ] 异或上一个数字

思路:

首先，对区间操作，第一个想到线段树。但是朴素线段树并没办法维护区间异或的值，那怎么办呢？

考虑异或的本质:

两个数执行异或操作，相当于对这两个数二进制位上的数进行操作，该位置上的数字相同则为0， 不同则为1（同0异1）。

那么我们能否用线段树来维护某一个位上的异或值呢？可以的。
比如对 4，6，7 这三个数，如果对它异或上一个 3 那么得到的结果会是 6，5，4。

这个结果怎么得到的呢？

数字 3 的前四个二进制位为 [ 0, 0, 1, 1 ]。

数字 4 的前四个二进制位为 [ 0, 1, 0, 0 ]。
数字 6 的前四个二进制位为 [ 0, 1, 1, 0 ]。
数字 7 的前四个二进制位为 [ 0, 1, 1, 1 ]。

根据，同0异1，异或后得到的就是：

数字 6 的前四个二进制位为 [ 0, 1, 1, 1 ]。
数字 5 的前四个二进制位为 [ 0, 1, 0, 1 ]。
数字 4 的前四个二进制位为 [ 0, 1, 0, 0 ]。

观察数字 3 二进制位中存在 1 的位置对每个数二进制位的影响：

异或之后，原数组中每个数的二进制位的 1 都变成了 0， 0 都变成了 1，相当于把区间取反了。

而线段树维护区间 0 和 1 取反是很容易的。那么我们就可以进行一些骚操作。

把线段树拆成每一个二进制位，分别维护每个二进制位上的 0 和 1 就行了。每次异或一次，就将存在 1 区间取反，计算答案时候统计每一个二进制位的数，加上的和就是最终的答案了。

想到这一步之后就是套上树的模板，然后拆分二进制位分别维护就可以了。

AC代码:

#include 
#define lson k << 1 , l, mid//宏定义减少代码量
#define rson k << 1 | 1, mid + 1, r
using namespace std;

using i64 = long long;

const int N = 1e5 + 10;
int seg[N << 2][20], lazy[N << 2];//将线段树分成20个二进制位进行维护
int arr[N];

inline void pushdown(int k, int l, int r)
{
	int mid = l + r >> 1, lt = k << 1, rt = k << 1 | 1;

	for (int i = 0; i < 20; ++i)//更新区间 存在1则区间取反
		if (lazy[k] >> i & 1)
			seg[lt][i] = (mid - l + 1) - seg[lt][i],
			seg[rt][i] = (r - mid) - seg[rt][i];

	lazy[lt] ^= lazy[k], lazy[rt] ^= lazy[k], lazy[k] = 0;
}

inline void build(int k, int l, int r)
{
	if (l == r)
	{
		for (int i = 0; i < 20; ++i)//对每个二进制位分别建树
			seg[k][i] = (arr[l] >> i & 1);

		return;
	}
	int mid = l + r >> 1, lt = k << 1, rt = k << 1 | 1;
	build(lson), build(rson);

	for (int i = 0; i < 20; ++i)//pushup 1的个数
		seg[k][i] = seg[lt][i] + seg[rt][i];
}

inline void upd(int k, int l, int r, int x, int y, int z)
{
	if (l >= x && r <= y)
	{
		for (int i = 0; i < 20; ++i)//存在1则区间取反
			if (z >> i & 1)
				seg[k][i] = (r - l + 1) - seg[k][i];
		lazy[k] ^= z;
		return;
	}

	if (lazy[k]) pushdown(k, l, r);
	int mid = l + r >> 1, lt = k << 1, rt = k << 1 | 1;
	if (x <= mid) upd(lson, x, y, z);
	if (y > mid) upd(rson, x, y, z);

	for (int i = 0; i < 20; ++i)//pushup 1的个数
		seg[k][i] = seg[lt][i] + seg[rt][i];
}

inline i64 qry(int k, int l, int r, int x, int y)
{
	if (l >= x && r <= y)
	{
		i64 res = 0, log = 1;
		for (int i = 0; i < 20; ++i)//统计每个二进制位上的1
			res += log * seg[k][i],
			log <<= 1;
		return res;
	}
	if (lazy[k]) pushdown(k, l, r);
	int mid = l + r >> 1;
	i64 res = 0;
	if (x <= mid) res += qry(lson, x, y);
	if (y > mid) res += qry(rson, x, y);
	return res;
}

void solve()
{
	int n, m; 
	cin >> n;

	for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> arr[i];
	build(1, 1, n);

	cin >> m;
	for (int i = 0, x, y, z; i < m; ++i)
	{
		cin >> x;
		if (x == 1)
		{
			cin >> x >> y;
			cout << qry(1, 1, n, x, y) << '\n';
		}
		else
		{
			cin >> x >> y >> z;
			upd(1, 1, n, x, y, z);
		}
	}
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0)；
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	solve();
	return 0;
}