从零开始学数据分析之——《微积分》第二章 导数与微分

2.1 导数的概念

2.1.1 函数的变化率

设函数，当自变量x由点变化到时，相应的函数值由变化到,此时—就是相应于自变量x改变量的函数改变量，比值称为函数y=f(x)相应于自变量由变化到时的平均变化率。

2.1.2 导数的定义

1. 函数在一点的导数与导函数

定义2.1.1 设函数y=f(x)在点的某一邻域内有定义，给自变量x在点处的一个改变量，函数f(x)相应地有改变量，如果存在，则称函数y=f(x)对x在点可导，并称此极限值为函数y=f(x)对x在点的导数。

定义2.1.2 如果函数y=f(x)在开区间I内每一点对x可导，则称函数f(x)在开区间I内可导。

2.求导数举例

（1）求相应于自变量改变量的函数改变量

（2）作比值

（3）求极限

2.1.3 导数的意义

（1）瞬时速度

（2）切线斜率

2.1.4 左、右导数

左导数、右导数统称为单侧导数

由函数在一点存在极限的充要条件知，函数y=f(x)在点可导的充要条件是函数y=f(x)在

点左、右导数存在且相等

2.1.5 函数的可导行与连续性的关系 

若函数y=f(x)在点处可导，则f(x)在点处连续。

连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即可导一定连续，但连续不一定可导

2.2 求导法则

2.2.1 函数和、差、积、商的求导法则

1、代数和的导数

2、乘积的导数

 3、商的导数

2.2.2 反函数的求导法则

设函数y=f(x)在某区间I内是单调的连续函数，如果在I内某点x处函数f(x)可导，且在这点的导数f'(x)不等于零，则其反函数在对应的点y(y=f(x))处可导，并且

2.2.3 复合函数的求导法则 

若在点x可导，而y=f(u)在对应的点可导，则复合函数在点x可导，并且即

复合函数的求导法则又称为链式法则

1. 基本初等函数的导数公式

2. 求导法则 

 

2.3 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数

把方程F(x,y)=0中的y看成是由方程所确定的隐函数（从而y的函数就是以y为中间变量的x的复合函数），这时将方程两边对自变量x求导，就得到一个含有x,y,y'的等式，从中解出y'即可

2.4 高阶导数

 

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数

 高阶导数运算法则：

1）

2）

3）

2.5 微分

2.5.1 微分的定义

定义2.5.1 设函数y=f(x)在的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时，如果相应的函数的增量可以表示为：

函数y=f(x)在点 可微的充分必要条件是函数f(x)在点可导，并且当y=f(x)在点可微时，有

2.5.2 微分的几何意义

曲线y=f(x)在点附近的局部范围内可以用它在这点处的切线近似地替代

2.5.3 微分公式与运算法则

1. 基本初等函数的微分公式

2. 微分的四则运算法则

1）

2）

3）（c为常数）

4）

2.5.4 微分的应用

1.近似计算

2.误差估计