5对角化与Jordan标准型

1正规矩阵

1.1实对称矩阵与厄米矩阵

实对称矩阵：实矩阵$A$ $A^T=A$
厄米矩阵：复矩阵$A$ $A^H=A$
实反对称矩阵：实矩阵$A$ $A^T=-A$
反厄米矩阵：复矩阵$A$ $A^H=-A$

1.2正交矩阵和酉矩阵

正交矩阵：实矩阵 $A^{T}A=A{A}^T=I(A^{-1}=A^T)$
酉矩阵：复矩阵 $A^{H}A=A{A}^H=I(A^{-1}=A^H)$

1.3正交相似变换和酉相似变换

$P$为正交矩阵，$A$为实矩阵，$P^{-1}AP$为对$A$的正交相似变换
$P$为酉矩阵，$A$为复矩阵，$P^{-1}AP$为对$A$的酉相似变换

1.4正规矩阵

实矩阵$A$,若满足$A^{T}A=A{A}^T$,则称其为实正规矩阵
复矩阵$A$,若满足$A^{H}A=A{A}^H$,则称其为复正规矩阵
显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵；
厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。

1.5相似矩阵具有相同的特征多项式$\to$相同的特征值、迹、行列式

$$det(\lambda I-P^{-1}AP)=det(\lambda P^{-1}IP-P^{-1}AP)=det(P^{-1}(\lambda I-A)P)=det(P^{-1})det(\lambda I-A)det(P)=det(\lambda I-A)$$

2酉对角化

2.1$Schur$引理

设数${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$是$n$阶方阵$A$的特征值，则存在酉矩阵$U$，使

证明：将$U$化为$A$特征向量组成的矩阵，可以自然的证明出来




进一步的，我们思考，任意一个满秩的方阵可以化为上三角矩阵，那么什么形式的矩阵可以更进一步，化为对角矩阵呢？

2.2定理

$n$阶方阵$A$，酉相似于对角阵的充要条件是：$A$为正规阵（实或复）。
利用$A$是正规矩阵，求上三角矩阵$\Lambda {\Lambda }^H和{\Lambda }^H\Lambda$相等，便可得知上三角的其余值均为0

3$Jordan$标准型

简述求法，原理就不细说了

1. 求不变因子$d_i(\lambda )$:求出$D_i(\lambda ),$(i阶行列式最大公因式)，则$d_i(\lambda )=\frac{D_i(\lambda )}{D_{i-1}(\lambda )},$且$d_{i-1}(\lambda )$是$d_i(\lambda )$的因式。将不变因子化为初等因子。比如
   
2. 写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个Jordan块矩阵）
   
3. 合成Jordan矩阵