leetcode(力扣) 123. 买卖股票的最佳时机 III (动态规划)

题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0

思路分析

这道题的前置两个题

• 121.买卖股票的最佳时机
• 122.买卖股票的最佳时机 Ⅱ

这道题在上一道题的基础上再次升级，上一道题是可以无限买卖，这道题是规定了只允许买两次卖两次。你也可以为了追求最大利润选择不操作或者只买卖一次。

来规矩 动态规划五步走：

1.确定dp数组含义:

和之前的思路一样，定义出来i天所有的可能状态。

dp[i][0] : 表示 第 i 天无操作，保持之前的状态 时手里的最大金额。
dp[i][1]: 表示 第 i 天 第一次持有股票的状态 时手里的最大金额。
dp[i][2]: 表示 第 i 天 第一次不持有股票的状态 时手里的最大金额。
dp[i][3]: 表示 第 i 天 第二次持有股票的状态 时手里的最大金额。
dp[i][4]: 表示 第 i 天 第二次不持有股票的状态 时手里的最大金额。

稍微说明一下，持有状态，有可能是 i 天当天买入了股票变成了持有状态，或者前几天就买入了，到今天还没卖出，那么今天也是持有状态，不持有状态同理。

2.状态转移公式：

这块没什么难的，和之前的思路是一样的，只不过多了几个状态。

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dp[i][1]第i天持有股票 手里的最大金额：
要么是前几天买入的，今天还没卖，所以是持有状态，继承前一天的持有状态就行了。要么是今天刚买入的，则就是前一天无操作时的状态再花掉今天要买股票的钱。
所以就是：dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])

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dp[i][2] 第i天不持有股票 手里最大的金额：
要么是前几天就已经卖掉了，现在还是不持有状态，则继承前一天不持有状态。要么是今天刚卖掉，所以是前一天持有状态，再加上今天要卖掉的钱。
所以就是： dp[i][2] = max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i])

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dp[i][3] 第i天第二次持有股票 手里最大的金额：
同理，前几天已经买入，则继承前两天的第二次持有状态，或者是今天刚买入的，则是前一天不持有状态 再花掉今天买入股票的钱。
所以：dp[i][3] = max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i])

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dp[i][4] 第i天第二次不持有股票 手里最大的金额：
同理。
公式：dp[i][4] = max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i])

3.初始化dp数组：

一开始dp[0][0]肯定是0没得说。

第一次买入肯定是负钱 dp[0][1] = -prices[0]

第一次卖出选择最差情况，就是无收入情况 dp[0][2] = 0

第二次买入，看递推公式可以知道，和第一次卖出有关，所以这里设置为-prices[0]

第二次卖出，同理了 是0。

4.遍历顺序：
这个没得说，正向遍历。

5.模拟举例dp数组的值：

偷懒的一步，debug用~出错了回来做着一步。

完整代码

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:

        dp = [[0 for i in range(5)] for j in range(len(prices))]

        dp[0][0] = 0
        dp[0][1] = -prices[0]
        dp[0][2] = 0
        dp[0][3] = -prices[0]
        dp[0][4] = 0

        for i in range(1,len(prices)):
        	# 无操作
            dp[i][0] = dp[i-1][0]
            # dp[i][1]第i天持有股票 手里的最大金额
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])
            # dp[i][2] 第i天不持有股票 手里最大的金额
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i])
            # dp[i][3] 第i天第二次持有股票 手里最大的金额
            dp[i][3] = max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i])
            # dp[i][4] 第i天第二次不持有股票 手里最大的金额
            dp[i][4] = max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i])
        print(dp[-1][4])
        return dp[-1][4]