＜红黑树＞——《C++高阶》

目录

1. 红黑树

1.1 红黑树的概念

1.2 红黑树的性质

1.3 红黑树节点的定义

1.4 红黑树结构

1.5 红黑树的插入操作

1.6 红黑树的验证

1.7 红黑树的删除

1.8 红黑树与AVL树的比较

1.9 红黑树的应用

2 .红黑树模拟实现STL中的map与set

2.1 红黑树的迭代器

2.2 改造红黑树

3.红黑树的模拟实现：

3.1功能函数：

（1）定义红黑树的结构：​

（2） Insert：​

 （3）左旋RotateL：​

（4）右旋RotateR：​

（5）求最长路径：​

（6）求最短路径：​

（7）遍历（递归版）：

（8）判断是否为有效红黑树：​ 

（9）判断是否满足红黑树的性质： ​

（10）层序遍历：​

3.2 完整源码：

（1）RBTree.h:

（2）test.cpp:

（3）测试用例：​

后记：●由于作者水平有限，文章难免存在谬误之处，敬请读者斧正，俚语成篇，恳望指教！

                                                                       ——By 作者：新晓·故知

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1. 红黑树

1.1 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。

图片源于网络：（这里仅做学习用途，如有侵权，请联系删除！） 

 1.2 红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色

2. 根节点是黑色的 

3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的 （即没有连续的红色结点）

4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点 （即每条路径都包含相同数量得黑色结点）

5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

解析：（极限分析）

• 当为最短路径时，则是所有结点均为黑色的满二叉树
• 当为最长路径时，则结点是一黑一红间隔的二叉树

1.3 红黑树节点的定义

// 节点的颜色
enum Color { RED, BLACK };
// 红黑树节点的定义
template
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _color(color)
	{}
	RBTreeNode* _pLeft;   // 节点的左孩子
	RBTreeNode* _pRight;  // 节点的右孩子
	RBTreeNode* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给
	出该字段)
	ValueType _data;            // 节点的值域
	Color _color;               // 节点的颜色
};

 思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？

1.4 红黑树结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为跟节点必须为黑色，为了与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 pParent 域指向红黑树的根节点，pLeft 域指向红黑树中最小的节点，_pRight域指向红黑树中最大的节点，如下：

图片源于网络：（这里仅做学习用途，如有侵权，请联系删除！） 

 

1.5 红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

template
class RBTree
{
	//……
	bool Insert(const ValueType& data)
	{
		PNode& pRoot = GetRoot();
		if (nullptr == pRoot)
		{
			pRoot = new Node(data, BLACK);
			// 根的双亲为头节点
			pRoot->_pParent = _pHead;
			_pHead->_pParent = pRoot;
		}
		else
		{
			// 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点
						// 2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏，
			//   若满足直接退出，否则对红黑树进行旋转着色处理
		}
		// 根节点的颜色可能被修改，将其改回黑色
		pRoot->_color = BLACK;
		_pHead->_pLeft = LeftMost();
		_pHead->_pRight = RightMost();
		return true;
	}
private:
	PNode& GetRoot() { return _pHead->_pParent; }
	// 获取红黑树中最小节点，即最左侧节点
	PNode LeftMost();
	// 获取红黑树中最大节点，即最右侧节点
	PNode RightMost();
private:
	PNode _pHead;
};

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何

性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连

在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

cur和p均为红，违反了性质三，此处能否将p直接改为黑？

解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

 

 

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，

p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转

p、g变色--p变黑，g变红

情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，

p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转

则转换成了情况2

针对每种情况进行相应的处理即可。

bool Insert(const ValueType& data) 
{ 
	// ...
	// 新节点插入后，如果其双亲节点的颜色为空色，则违反性质3：不能有连在一起的红色结 点 
	while(pParent && RED == pParent->_color) 
	{ 
		// 注意：grandFather一定存在
		  // 因为pParent存在，且不是黑色节点，则pParent一定不是根，则其一定有双亲
		PNode grandFather = pParent->_pParent;
		// 先讨论左侧情况
		if (pParent == grandFather->_pLeft)
		{
			PNode unclue = grandFather->_pRight;
			// 情况三：叔叔节点存在，且为红
			if (unclue && RED == unclue->_color)
			{
				pParent->_color = BLACK;
				unclue->_color = BLACK;
				grandFather->_color = RED;
				pCur = grandFather;
				pParent = pCur->_pParent;
			}
			else
			{
				// 情况五：叔叔节点不存在，或者叔叔节点存在且为黑
				if (pCur == pParent->_pRight)
				{
					_RotateLeft(pParent);
					swap(pParent, pCur);
				}
				// 情况五最后转化成情况四
				grandFather->_color = RED;
				pParent->_color = BLACK;
				_RotateRight(grandFather);
			}
		}
		else
		{
			// 右侧请学生们自己动手完成
		}
	}
	// ...
}

1.6 红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)

2. 检测其是否满足红黑树的性质

 

bool IsValidRBTree()
{
	PNode pRoot = GetRoot();
	// 空树也是红黑树
	if (nullptr == pRoot)
		return true;
	// 检测根节点是否满足情况
	if (BLACK != pRoot->_color)
	{
		cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
		return false;
	}
	// 获取任意一条路径中黑色节点的个数
	size_t blackCount = 0;
	PNode pCur = pRoot;
	while (pCur)
	{
		if (BLACK == pCur->_color)
			blackCount++;
		pCur = pCur->_pLeft;
	}
	// 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
	size_t k = 0;
	return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{
	//走到null之后，判断k和black是否相等
	if (nullptr == pRoot)
	{
		if (k != blackCount)
		{
			cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}
	// 统计黑色节点的个数
	if (BLACK == pRoot->_color)
		k++;
	// 检测当前节点与其双亲是否都为红色
	PNode pParent = pRoot->_pParent;
	if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color)
	{
		cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
		return false;
	}
	return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount) &&
		_IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);
}

1.7 红黑树的删除

红黑树的删除本节不做讲解，有兴趣的同学可参考：《算法导论》或者《STL源码剖析》

1.8 红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O($log_2 N$)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

1.9 红黑树的应用

1. C++ STL库 -- map/set、mutil_map/mutil_set

2. Java 库

3. linux内核

4. 其他一些库

2 .红黑树模拟实现STL中的map与set

2.1 红黑树的迭代器

迭代器的好处是可以方便遍历，是数据结构的底层实现与用户透明。如果想要给红黑树增加迭代器，需要考虑以前问题：

begin()与end()

STL明确规定，begin()与end()代表的是一段前闭后开的区间，而对红黑树进行中序遍历后，

可以得到一个有序的序列，因此：begin()可以放在红黑树中最小节点(即最左侧节点)的位

置，end()放在最大节点(最右侧节点)的下一个位置，关键是最大节点的下一个位置在哪块？

能否给成nullptr呢？答案是行不通的，因为对end()位置的迭代器进行--操作，必须要能找最

后一个元素，此处就不行，因此最好的方式是将end()放在头结点的位置：

图片源于网络：（这里仅做学习用途，如有侵权，请联系删除！） 

• operator++()与operator--()

  // 找迭代器的下一个节点，下一个节点肯定比其大
  void Increasement()
  {
  	//分两种情况讨论:_pNode的右子树存在和不存在
  	// 右子树存在
  	if (_pNode->_pRight)
  	{
  		// 右子树中最小的节点，即右子树中最左侧节点
  		_pNode = _pNode->_pRight;
  		while (_pNode->_pLeft)
  			_pNode = _pNode->_pLeft;
  	}
  	else
  	{
  		// 右子树不存在，向上查找，直到_pNode != pParent->right
  		PNode pParent = _pNode->_pParent;
  		while (pParent->_pRight == _pNode)
  		{
  			_pNode = pParent;
  			pParent = _pNode->_pParent;
  		}
  		// 特殊情况：根节点没有右子树
  		if (_pNode->_pRight != pParent)
  			_pNode = pParent;
  	}
  }
  // 获取迭代器指向节点的前一个节点
  void Decreasement()
  {
  	//分三种情况讨论：_pNode 在head的位置，_pNode 左子树存在，_pNode 左子树不存在
  		// 1. _pNode 在head的位置，--应该将_pNode放在红黑树中最大节点的位置
  		if (_pNode->_pParent->_pParent == _pNode && _pNode->_color == RED)
  			_pNode = _pNode->_pRight;
  		else if (_pNode->_pLeft)
  		{
  			// 2. _pNode的左子树存在,在左子树中找最大的节点，即左子树中最右侧节点
  			_pNode = _pNode->_pLeft;
  			while (_pNode->_pRight)
  				_pNode = _pNode->_pRight;
  		}
  		else
  		{
  			// _pNode的左子树不存在，只能向上找
  			PNode pParent = _pNode->_pParent;
  			while (_pNode == pParent->_pLeft)
  			{
  				_pNode = pParent;
  				pParent = _pNode->_pParent;
  			}
  			_pNode = pParent;
  		}
  }

   

2.2 改造红黑树

// 因为关联式容器中存储的是的键值对，因此
// k为key的类型，
// ValueType: 如果是map，则为pair; 如果是set，则为k
// KeyOfValue: 通过value来获取key的一个仿函数类
template
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode Node;
	typedef Node* PNode;
public:
	typedef RBTreeIterator Iterator;
public:
	RBTree();
	~RBTree()
		/
		// Iterator
		Iterator Begin() { return Iterator(_pHead->_pLeft); }
	Iterator End() { return Iterator(_pHead); }
	//
	// Modify
	pair Insert(const ValueType& data)
	{
		// 插入节点并进行调整
		// 参考上文...
		return make_pair(Iterator(pNewNode), true);
	}
	// 将红黑树中的节点清空
	void Clear();
	Iterator Find(const K& key);
	//
	// capacity
	size_t Size()const;
	bool Empty()const;
	// ……
private:
	PNode _pHead;
	size_t _size;  // 红黑树中有效节点的个数
};

 

3.红黑树的模拟实现：

红黑树通过颜色分配控制结构，从而使得查找效率得以提升，因此也被广泛使用。同AVL树一样，这里对红黑树的实现也通过Insert数据，进行分析。在Insert数据过程中，会改变二叉树的结构，因此需要处理，以保证二叉树的结构满足要求，而红黑树的处理更为复杂，红黑树的Find、Erase操作可参考教材或其他资料。

3.1功能函数：

（1）定义红黑树的结构：

（2） Insert：

 （3）左旋RotateL：

（4）右旋RotateR： （5）求最长路径：

（6）求最短路径： （7）遍历（递归版）：

前序遍历、中序遍历、后序遍历。

（8）判断是否为有效红黑树： （9）判断是否满足红黑树的性质： 

（10）层序遍历：

 

3.2 完整源码：

（1）RBTree.h:

#pragma once
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

enum Colour
{
	RED,
	BLACK,
};

template
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode* _left;
	RBTreeNode* _right;
	RBTreeNode* _parent;
	pair _kv;

	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _col(RED)
	{}
};

template
struct RBTree
{
	typedef RBTreeNode Node;
public:
	bool Insert(const pair& kv)
	{
		// 1、搜索树的规则插入
		// 2、看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;   //插入新结点为红色，影响最小
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		// 存在连续红色节点
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfater = parent->_parent;
			assert(grandfater);

			if (grandfater->_left == parent)
			{
				Node* uncle = grandfater->_right;
				// 情况一：
				if (uncle && uncle->_col == RED) // 叔叔存在且为红
				{
					// 变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfater->_col = RED;

					// 继续往上处理
					cur = grandfater;
					parent = cur->_parent;
				}
				else // 叔叔不存在 或者 叔叔存在且为黑
				{
					if (cur == parent->_left) // 单旋
					{
						//     g
						//   p
						// c
						RotateR(grandfater);
						parent->_col = BLACK;
						grandfater->_col = RED;
					}
					else // 双旋
					{
						//     g
						//   p
						//     c 
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfater);
						cur->_col = BLACK;
						grandfater->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}
			else //(grandfater->_right == parent)
			{
				Node* uncle = grandfater->_left;
				// 情况一：
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					// 变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfater->_col = RED;

					// 继续往上处理
					cur = grandfater;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						// g
						//   p
						//     c 
						RotateL(grandfater);
						parent->_col = BLACK;
						grandfater->_col = RED;
					}
					else // 双旋
					{
						// g
						//   p
						// c
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfater);
						cur->_col = BLACK;
						grandfater->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}
		}

		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}
	//层序遍历
	vector> levelOrder()
	{
		cout << "层序遍历："<> vv;
		if (_root == nullptr)
			return vv;

		queue q;
		int levelSize = 1;
		q.push(_root);

		while (!q.empty())
		{
			
			// levelSize控制一层一层出
			vector levelV;
			while (levelSize--)
			{
				Node* front = q.front();
				q.pop();
				levelV.push_back(front->_kv.first);
				if (front->_left)
					q.push(front->_left);

				if (front->_right)
					q.push(front->_right);
			}
			vv.push_back(levelV);
			for (auto e : levelV)
			{
				cout << e << " ";
			}
			cout << endl;

			// 上一层出完，下一层就都进队列
			levelSize = q.size();
		}

		return vv;
	}
	//左旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == ppNode->_left)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppNode;
		}
	}
	//右旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}

	}
	//求最长路径
	int _maxHeight(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int lh = _maxHeight(root->_left);
		int rh = _maxHeight(root->_right);

		return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}
	//求最短路径
	int _minHeight(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int lh = _minHeight(root->_left);
		int rh = _minHeight(root->_right);

		return lh < rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}
	//1.中序遍历（递归版）
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}
	//2.前序遍历（递归版）
	void _PrevOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		cout << root->_kv.first << " ";
		_PrevOrder(root->_left);
		_PrevOrder(root->_right);
	}
	//3.后序遍历（递归版）
	void _PostOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_PostOrder(root->_left);
		_PostOrder(root->_right);
		cout << root->_kv.first << " ";
	}
	//判断是否为有效红黑树
	bool _IsValidRBTree(Node* pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
	{
		//走到null之后，判断k和black是否相等
		if (nullptr == pRoot)
		{
			if (k != blackCount)
			{
				cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}

		// 统计黑色节点的个数
		if (BLACK == pRoot->_col)
			k++;

		// 检测当前节点与其双亲是否都为红色
		if (RED == pRoot->_col && pRoot->_parent && pRoot->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "违反性质三：存在连在一起的红色节点" << endl;
			return false;
		}

		return _IsValidRBTree(pRoot->_left, k, blackCount) &&
			_IsValidRBTree(pRoot->_right, k, blackCount);
	}

public:
	//遍历
	void InOrder()
	{
		cout << "中序遍历：";
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
	void PrevOrder()
	{
		cout << "前序遍历：";
		_PrevOrder(_root);
		cout << endl;
	}
	void PostOrder()
	{
		cout << "后序遍历：";
		_PostOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	void Height()
	{
		cout << "最长路径:" << _maxHeight(_root) << endl;
		cout << "最短路径:" << _minHeight(_root) << endl;
	}

	bool IsBalanceTree()
	{
		// 检查红黑树几条规则

		Node* pRoot = _root;
		// 空树也是红黑树
		if (nullptr == pRoot)
			return true;

		// 检测根节点是否满足情况
		if (BLACK != pRoot->_col)
		{
			cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
			return false;
		}

		// 获取任意一条路径中黑色节点的个数 -- 比较基准值
		size_t blackCount = 0;
		Node* pCur = pRoot;
		while (pCur)
		{
			if (BLACK == pCur->_col)
				blackCount++;

			pCur = pCur->_left;
		}

		// 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
		size_t k = 0;
		return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

（2）test.cpp:

#include"RBTree.h"

void TestRBTree1()
{
	//int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 };
	int a[] = { 30, 29, 28, 27, 26, 25, 24, 11, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 };
	RBTree t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	t.levelOrder();
	cout << endl;
	t.InOrder();
	t.PrevOrder();
	t.PostOrder();

	cout << endl;
	t.Height();
}

void TestRBTree2()
{
	//const size_t N = 1024 * 1024;
	const size_t N = 50;

	vector v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < N; ++i)
	{
		//v.push_back(rand());
		v.push_back(i);
	}

	RBTree t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}

	t.levelOrder();
	cout << endl;
	cout << "树是否平衡?（1：是 0：不是）：" << t.IsBalanceTree() << endl;
	t.Height();

	t.InOrder();
}

int main()
{
	TestRBTree1();
	//TestRBTree2();

	return 0;
}

（3）测试用例：

 

后记：
●由于作者水平有限，文章难免存在谬误之处，敬请读者斧正，俚语成篇，恳望指教！

                                                                       ——By 作者：新晓·故知