《洛谷深入浅出进阶篇》 P2367语文成绩——差分

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上题干：

题目背景

语文考试结束了，成绩还是一如既往地有问题。

题目描述

语文老师总是写错成绩，所以当她修改成绩的时候，总是累得不行。她总是要一遍遍地给某些同学增加分数，又要注意最低分是多少。你能帮帮她吗？

输入格式

第一行有两个整数 n，p，代表学生数与增加分数的次数。

第二行有 n 个数，1∼a1∼an​，代表各个学生的初始成绩。

接下来 p 行，每行有三个数，x，y，z，代表给第 x 个到第 y 个学生每人增加 z 分。

输出格式

输出仅一行，代表更改分数后，全班的最低分。

输入输出样例

输入 #1复制

3 2
1 1 1
1 2 1
2 3 1

输出 #1复制

2

说明/提示

对于 40%40% 的数据，有 n≤10^3。

对于 60%60% 的数据，有 n≤10^4。

对于 80%80% 的数据，有 n≤10^5。

对于 100%100% 的数据，有 n≤5×10^6,  p≤n，学生初始成绩 ≤100，z≤100。

这道题是一道经典的差分题：

我们首先了解一下什么是差分：差分就是前缀和的逆运算

假设有一个数组为   a[N]

把这个数组a的每一项减去前一项的值a[i]-[i-1]赋值给另一个数组b[i]。

即b[i] = a [i] -a[i-1]

那么这个数组b就是数组a的差分数组。

差分数组的性质就是    ：数组b的前n项和 = 数组a的第n项。

即：

并且b[i]如果增加1，那么a[i]到a[n]都会增加1，减少亦然。

下面给予证明：

相信大家都见过这样的式子：

b[n]    =a[n]     -a[n-1]

b[n-1]=a[n-1]  -a[n-2]

b[n-2]=a[n-2]-a[n-3]

.......

b[3]=a[3]-a[2]

b[2]=a[2]-a[1]

b[1]=a[1]-a[0]（a[0]=0） 也可以写成 b[1]=a[1]

>>>>>把左边累加，右边累加可以得到：

 假设我们把b[2]增加1，对i>=2的a数列，其值都增加1.

 假设我们把b[5]减少1，对i>=5的a数列，其值都减少1.

所以如果我们只要改变[2,4]区间，我们只需要对b[2]+1,b[4+1]-1即可

所以差分的必要步骤就是前加后减。

我们每次要给一个区间[x,y]内的数字增加z，希望其他区间的数字不变，所以我们可以让b[x]+z,b[y+1]-z；

最后对b数组求和就可以了。

上代码：

const int N = 5e6+10;
int a[N];//最终答案
int b[N];//差分数组
int n, p;
int ans = 0x7fffffff;
int main()
{
	cin >> n >> p;
	for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];
	for (int i = 1; i <= n; i++)b[i] = a[i] - a[i - 1];
	while (p--)
	{
		int x, y, z;
		cin >> x >> y >> z;
		b[x]+=z;
		b[y + 1]-=z;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		b[i] += b[i - 1];
		ans = min(ans, b[i]);
	}
	cout << ans;


}