2021-06-22

令坐标$OXYZ$中有四个点$P1(x_1^w,y_1^w,z_1^w)$, $P2(x_2^w,y_2^w,z_2^w)$, $P3(x_3^w,y_3^w,z_3^w)$, $P4(x_4^w,y_4^w,z_4^w)$，坐标 $O^{{}^{\prime }}{X}^{{}^{\prime }}{Y}^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}$
中其对应点为$P{1}^{{}^{\prime }}(x_1^c,y_1^c,z_1^c)$, $P{2}^{{}^{\prime }}(x_2^c,y_2^c{z}_2^c)$, $P{3}^{{}^{\prime }}(x_3^c,y_3^c,z_3^c)$, $P{4}^{{}^{\prime }}(x_4^c,y_4^c,z_4^c)$
$$A=\left[\begin{array}{cccccccccccc}{x}_1^w& y_1^w& z_1^w& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& x_1^w& y_1^w& z_1^w& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& x_1^w& y_1^w& z_1^w& 0& 0& 1\\ x_2^w& y_2^w& z_2^w& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& x_2^w& y_2^w& z_2^w& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& x_2^w& y_2^w& z_2^w& 0& 0& 1\\ x_3^w& y_3^w& z_3^w& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& x_3^w& y_3^w& z_3^w& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& x_3^w& y_3^w& z_3^w& 0& 0& 1\\ x_4^w& y_4^w& z_4^w& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& x_4^w& y_4^w& z_4^w& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& x_4^w& y_4^w& z_4^w& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
$$M=\left[\begin{array}{c}{r}_{11}\\ \cdots \\ r_{33}\\ t_1\\ t_2\\ t_3\end{array}\right]$$

$$y=\left[\begin{array}{c}{x}_1^c\\ y_1^c\\ z_1^c\\ \cdots \\ x_4^c\\ y_4^c\\ z_4^c\end{array}\right]$$
则
$$M=(A^{-1}A{)}^{-1}{A}^{-1}y$$