acwing算法基础之数学知识--快速幂

1 基础知识

快速幂，该方法用来快速求解$a^k$取余p的值，时间复杂度为O(logk)。

核心思想：k一定可以表示成$k={\Sigma }_j{2}^j$这样的形式，例如当k=9时，$9=2^0+2^3$。故，我们先预处理出$a$、$a^2$、$a^4$等等取余p的值，然后
$$a^9=(a\%p)\cdot (a^8\%p)$$

将上述思路转换为代码，如下所示，

int qmi(int a, int k, int p) {
	long long res = 1;
	while (k) {
		if (k & 1) res = (long long)res * a % p;
		k >>= 1;
		a = (long long)a * a % p;
	}
	return res;
}

2 模板

求 m^k mod p，时间复杂度 O(logk)。

int qmi(int m, int k, int p)
{
    int res = 1 % p, t = m;
    while (k)
    {
        if (k&1) res = res * t % p;
        t = t * t % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

3 工程化

题目1：n组(a, k, p)，请返回$a^k$取余p的值。

#include 

using namespace std;

int n;

int qmi(int a, int k, int p) {
    long long res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (long long)res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (long long)a * a % p;
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n;
    while (n--) {
        int a, k, p;
        cin >> a >> k >> p;
        cout << qmi(a, k, p) << endl;
    }
    
    return 0;
}

题目2：求逆元，即求a^(p-2) % p的值。

#include 

using namespace std;

int n;

int qmi(int a, int k, int p) {
    long long res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (long long)res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (long long)a * a % p;
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n;
    while (n--) {
        int a, p;
        cin >> a >> p;
        if (a % p == 0) {
            cout << "impossible" << endl;
        } else {
            cout << qmi(a, p-2, p) << endl;
        }
    }
    
    return 0;
}