acwing算法基础之数学知识--扩展欧几里得算法

1 基础知识

数学定理：对于任意正整数a和b，一定存在非零整数x和y，使得xa+yb=gcd(a,b)。

扩展欧几里得算法的关键步骤：

1. 如果b为0，那么可取x = 1, y = 0。
2. 否则，exgcd(b, a % b)，它对应的结果为y和x，即yb + x (a % b) = gcd(b, a % b)。考虑到$a\%b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \cdot b$，故，
   $$yb+x\cdot (a\%b)=yb+x\cdot (a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \cdot b)=xa+(y-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \cdot x)]\cdot b$$
3. 故得出递推公式，exgcd(a, b, x, y) ← exgcd(b, a % b, y, x)
   $$x=x$$
   $$y=y-a/b\cdot x$$

依据上述关键步骤，可以写出如下代码，

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	} else {
		int res = exgcd(b, a % b, y, x);
		y -= a / b * x;
		return res;
	}
}

2 模板

// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a/b) * x;
    return d;
}

3 工程化

题目1：求一组满足要求的x和y。

#include 

using namespace std;

int n;

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    } else {
        int res = exgcd(b, a % b, y, x);
        y -= a / b * x;
        return res;
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    while (n--) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        int x, y;
        exgcd(a,b,x,y);
        cout << x << " " << y << endl;
    }
    
    return 0;
}

题目2：求解线性同余方程。

#include 

using namespace std;

int n;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    } else {
        int res = exgcd(b, a % b, y, x);
        y -= a / b * x;
        return res;
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    while (n--) {
        int a, b, m;
        cin >> a >> b >> m;
        int x, y;
        int d = exgcd(a, m, x, y);
        if (b % d != 0) puts("impossible");
        else {
            int res = (long long)x * b / d % m;
            cout << res << endl;
        }
    }
    return 0;
}