LevOJ P1711 杨辉三角形

前言：

这题要求是求出杨辉三角中某一个数字第一次出现的位置，想要找构造杨辉三角的同志们可以溜了/doge

不想看思路，直接拖到最后抄代码！/doge

首先看到这道题，第一想法是用一个二维数组存入数据，然后遍历找数字就行了，可是当我看到数据量就否定了这个想法：10^9

然后吧想到这是个杨辉三角，根据排列组合的知识可以想到应该能找到一定规律，我们列一些项出来看一看

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1

我们先按题目要求把一些重复出现的数字删掉

1
1
1	2
1	3
1	4	6
1	5	10
1	6	15	20
1	7	21	35

（由于组合数C的公式不太好打出来，我们规定 C（m,n）是在m个数中无顺序取n个数    ）

不难看出，第 i 列第一次出现的数字都是C（2i , i）（我们认为第一行是 C(0,0) = 1 ）

然后看规律，我们发现较大的数字首次出现肯定是在比较后头的列中，这时我们考虑数字规模，我注意到C（34,17）= 2333606220 > 10^9 ，因此我们选择从第17列开始往前遍历列

同时，我们此题中需要计算组合数C，因此我们首先思考如何计算组合数C

首先肯定不能直接用定义计算

34！肯定直接越界，因此我们考虑进行优化，首先先用n!/(n-r)!得到n*(n-1)*...*(n-r+1),然后我们注意到我们可以每次乘以个数再除一次，可以显著的降低数据规模，同时因为除的数字规律显著，显然不会出现小数，下面是计算组合数的代码

typedef long long int ll;

ll C(int m,int n)//底下的是m，上头的是n
{
	ll sum = 1;
	int i = m, j = 1;
	int low = m - n + 1;
	for (;i >= low;--i,++j)
	{
		sum *= i;
		sum /= j;
	}
	return sum;
}

 现在，让我们考虑如何找数字：如果某列的第一个C（2i , i）大于我们需要的n，他下头若存在n,

n也一定不是第一次出现的。因此我们首先从后往前找到比需要的n小的C（2i ,i）.

第二步，在这一列往下找，看能否找到n

第三步，因为杨辉三角的性质导致不是每个数都一定在一列中能找到，因此如果找不到，我们需要在前一列继续进行查找，知道找到这个数

第四步，根据我们求得的n的上下标，还原出n的位置，相信这一步大家都会，就不写了

至此，我们解出了这题

上代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include 
typedef long long int ll;

ll C(int m,int n)//底下的是m，上头的是n
{
	ll sum = 1;
	int i = m, j = 1;
	int low = m - n + 1;
	for (;i >= low;--i,++j)
	{
		sum *= i;
		sum /= j;
	}
	return sum;
}


int main() 
{
	ll n;
	while (scanf("%lld",&n)!=EOF)
	{
		int i = 17;
		int j = i * 2;
		while(C(j ,i) > n)
		{
			i -= 1;
			j = i * 2;
		}
		int j1 = 0;
	flag:;
		j1 = j;
		while (C(j1, i) != n)
		{
			j1 += 1;
			if (C(j1,i) > n)
			{
				i -= 1;
				goto flag;
			}
		}

		ll res = 0;
		res += (1 + j1) * j1 / 2;
		res += i + 1;
		printf("%lld\n",res);
	}

	return 0;
}