【AcWing算法基础班】动态规划（二）学习笔记

一、线性DP

定义：有模糊的线性递推顺序的模型
例1 数字三角形问题：选择从上到下的一条路径，使得路径上的数字和最大
样例：
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
考虑状态表示的是哪一个集合：所有从起点走到（i，j）的路径
属性：所有这些路径上的数字之和的最大值
状态计算：集合划分为从左上方来的一类和从右上方来的一类
来自左上：f[i-1][j-1]+a[i][j]
来自右上：f[i-1][j]+a[i][j]
动态规划问题的时间复杂度一般是状态数量×状态转移的计算量
注意初始化边界条件
例2 最长上升子序列问题：给定一个长度为N的数列，求数值严格单调递增的子序列长度的最大值
样例：3 1 2 1 8 5 6
答案：4
状态表示f[i]，集合：所有以数列中第i个数为结尾的上升子序列
属性：所有上升子序列长度的最大值
集合划分：以a[i]为结尾的上升子序列中a[i]的前一个数可能是a[0]、a[1]、a[2]、……、a[i-1]，即j在0、1、2、……、i-1中取值，且满足a[j] 状态计算：f[i]=max{f[j]+1，a[j] 实现方式：二重循环，枚举所有a[j] 若要输出最长上升子序列，则利用并查集的思想，每次更新状态时，记录第i个节点的父节点。最后找到最长上升子序列最后一个数在数列中的位置，循环按照根节点向前输出即可。
练 最长上升子序列Ⅱ 若数据加强，怎么做？
考虑贪心的思想。结尾更大的上升子序列必定不如结尾更小的上升子序列要好，因为结尾越小，能接在该上升子序列后面的上升子序列越多，适用范围越广。因此我们可以存所有长度的最长上升子序列结尾的最小值。
结论：上升子序列的最小结尾值随长度增加而严格单调递增。
证明：假如有长度是k的结尾值最小的上升子序列。由于其严格单调递增，因此该上升子序列中第k-1个数一定比第k个数要小。那么我们就找到了一个长度是k-1的上升子序列，它的结尾值比长度是k的结尾值最小的上升子序列的结尾值小。如果长度是k-1的结尾值最小的上升子序列结尾值大于等于长度是k的结尾值最小的上升子序列结尾值，那么它也一定大于我们找到的这个长度是k-1的上升子序列的结尾值。这就矛盾了。因此，长度是k-1的结尾值最小的上升子序列结尾值一定小于长度是k的结尾值最小的上升子序列结尾值。
思考：如何求以a[i]为结尾的最长上升子序列的长度？
假设长度是k的结尾值最小的上升子序列结尾值大于等于a[i]，但长度是k-1的结尾值最小的上升子序列结尾值小于a[i]，那么a[i]是一定不能接到长度大于等于k的上升子序列后面的，但可以接到长度是k-1的结尾值最小的上升子序列后面。此时，就产生了一个以a[i]为结尾值且结尾值更小的长度是k的上升子序列。我们不断更新长度是k的结尾值最小的上升子序列的结尾值即可。这个过程需要用到二分，在以不同长度的最小结尾值构成的有序序列中查找最大的小于a[i]的那个值的位置。这是一种插入的思想，即找到a[i]在有序序列中应该插入的准确位置，结尾值就一定更新。注意初始化条件，最初有序序列还是空的，a[i]前面没有接任何数，也要假定一个极小值接上，来满足二分的过程。
例3 最长公共子序列问题：给两个长度分别为M和N得字符串A和B，求既是A的子序列又是B的子序列的字符串的长度最长是多少
样例：
acbd
abedc
答案：3
状态表示f[i][j]，集合：第一个序列的前i个字母和第二个序列的前j个字母的所有公共子序列
属性：所有这些子序列长度的最大值
集合划分：划分为四类，即最长公共子序列中a[i]、b[j]都选了，只选了a[i]没选b[j]，只选了b[j]没选a[i]，以及a[i]和b[j]都没选。
☆a[i]和b[j]都没选：f[i-1][j-1]，不用考虑进代码里，原因：f[i-1][j]和f[i][j-1]两类已经包含了f[i-1][j-1]
☆a[i]、b[j]都选：f[i-1][j-1]+1，限制条件：a[i]等于b[j]
★只选了b[j]没选a[i]：这种情况被f[i-1][j]包含，因为f[i-1][j]表示第一个序列的前i-1个字母和第二个序列的前j个字母的所有公共子序列长度的最大值，不一定以b[j]结尾。而这一类是说，a[i]不出现在最长公共子序列当中，b[j]一定出现在其中。综上，f[i-1][j]一定包含只选了b[j]没选a[i]的这种情况，但不等价。
★f[i][j]包含f[i-1][j]这种情况，f[i-1][j]又包含只选了b[j]没选a[i]的这种情况，要求只选了b[j]没选a[i]这一类情况的最大值，我们是可以用f[i-1][j]来代表这一类情况的最大值。虽然这样产生了重复，但终归是包含在f[i][j]里的，并不妨碍。因为我们求的是最大值，是可以重复的。比如，求A，B，C的最大值，我们可以先求A和B的最大值，再求B和C的最大值，B重叠了，但没有关系，只要我们没有漏掉某一个元素，就可以求出来三者的最大值。但是如果是求数量，那就不能有重复了，这只是针对最大值，可以不一一对应。
★只选了a[i]没选b[j]：同理，用f[i][j-1]代表
练 编辑距离问题：用最少的字符操作次数将字符串A转换为字符串B。字符操作共三种，即删除一个字符、插入一个字符、将一个字符改为另一个字符
状态表示f[i][j]，集合：所有将$a[1]$至$a[i]$变成$b[1]$至$b[j]$的操作方式
属性：这些操作方式所需操作次数中的最小操作次数
集合划分：
①若删除A的最后一个字符$a[i]$后A和B匹配，即原来$a[1]$至$a[i-1]$与$b[1]$至$b[j]$匹配，即$f[i][j]=f[i-1][j]+1$
②若在A后面增加一个字符$a[i+1]$后A和B匹配，即原来$a[1]$至$a[i]$与$b[1]$至$b[j-1]$匹配，即$f[i][j]=f[i][j-1]+1$
③若将A的最后一个字符$a[i]$改成$b[j]$后A和B匹配，即原来$a[1]$至$a[i-1]$与$b[1]$至$b[j-1]$匹配，即$f[i][j]=f[i-1][j-1]+1$，限制条件：$a[i]\ne b[j]$；若$a[i]=b[j]$，则$f[i][j]=f[i-1][j-1]$，即无需进行修改操作
状态计算：$f[i][j]=min（f[i-1][j]+1，f[i][j-1]+1，f[i-1][j-1]+（a[i]!=b[j]））$

二、区间DP

定义：状态表示的是某一个区间的模型
例 石子合并问题：将N堆石子合并为一堆，每次只能合并相邻两堆石子，不同合并顺序代价不同，求最小的合并代价
状态表示f[i][j]：第i堆石子到第j堆石子这一合并区间
集合：所有将第i堆石子到第j堆石子合并成一堆石子的合并方式
属性：所有合并方式的代价的最小值
集合划分：最后一次分界线的位置，可以在i到j之间的j-i个位置，即1、2、3、……、k-2、k-1，其中k=j-i+1
状态计算：f[i][j]=min{f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1]，k=i~j-1}
首先计算前缀和，然后用区间DP时，枚举区间起点和区间长度，并每次计算区间左右端点的值，区间长度是1不需要做合并，长度从2开始，用状态计算公式枚举区间计算即可。注意f[i][j]要先初始化，否则每次求最小值都是0。

三、计数类DP

定义：状态表示的是选法数量的模型
例 整数划分：一个正整数可以表示为若干个正整数之和，如n=n1+n2+……+nk，其中n1>=n2>=……>=nk，k>=1，将这样的一种表示称为正整数n的一种划分。给定一个正整数n，求n有多少种不同的划分方法。
问题转化为完全背包模型：容量是n的背包，有n个物品，物品的体积分别是从1~n，每种物品有无限个，求恰好装满背包的方案数。
状态表示f[i][j]，集合：从前i件物品中选，总体积等于j的所有选法
属性：所有选法的数量
集合划分：第i件物品不选、选1、2、3、……、s件
状态计算：
$\because f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i]+f[i-1][j-2i]+\dots \dots +f[i-1][j-si]$
又$f[i][j-i]=f[i-1][j-i]+f[i-1][j-2i]+\dots \dots +f[i-1][j-si]$
$\therefore f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-i]$
最终版本：$f[j]=f[j]+f[j-i]$，j从小到大循环
法2：状态表示f[i][j]，集合：所有总和是i，并且恰好表示成j个数的和的方案
属性：所有方案的数量
集合划分：最小值是1的所有方案，和最小值大于1的方案
最小值是1：与把所有方案中都去掉一个1是等价的，即f[i-1][j-1]
最小值大于1：与把所有方案中的所有数都减1是等价的，即f[i-j][j]
$\therefore f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]$
注意初始化f[1][1]=1。