切比雪夫距离
切比雪夫距离
文章目录
- 切比雪夫距离
-
- 概念
- 理解
- 计算公式
- 推广
概念
在数学中，切比雪夫距离（Chebyshev distance）或是L∞度量，是向量空间中的一种度量，二个点之间的距离定义是其各坐标数值差绝对值的最大值。以数学的观点来看，切比雪夫距离是由一致范数（uniform norm）（或称为上确界范数）所衍生的度量，也是超凸度量（injective metric space）的一种。
理解
两点的切比雪夫距离其实就相当于国际象棋中国王（只能横、竖、斜走一格）从一个点走到另一个点所需的步数。
如图所示：
计算公式
二维平面上的切比雪夫距离就是国王移动问题，比如“国王”从 ( f , 3 ) (f , 3) (f,3) 移动到 ( c , 5 ) (c , 5) (c,5) 需要3步，那么这两个点的切比雪夫距离就是3
设这两个点分别是 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) (x_1 , y_1) , (x_2 , y_2) (x1,y1),(x2,y2)
那就先要斜着走
m i n ( ∣ x 1 − x 2 ∣ , ∣ y 1 − y 2 ∣ ) min(\lvert x_1 - x_2 \rvert , \lvert y_1 - y_2 \rvert) min(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)
再横着走或竖着走
m a x ( ∣ x 1 − x 2 ∣ , ∣ y 1 − y 2 ∣ ) − m i n ( ∣ x 1 − x 2 ∣ , ∣ y 1 − y 2 ∣ ) max(\lvert x_1 - x_2 \rvert , \lvert y_1 - y_2 \rvert) - min(\lvert x_1 - x_2 \rvert , \lvert y_1 - y_2 \rvert) max(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)−min(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)
所以两个点的切比雪夫距离就是
m a x ( ∣ x 1 − x 2 ∣ , ∣ y 1 − y 2 ∣ ) max(\lvert x_1 - x_2 \rvert , \lvert y_1 - y_2 \rvert) max(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)
推广
n为空间上的切比雪夫距离
设两个点： A ( x 11 , x 12 , ⋯ , x 1 n ) , B ( x 21 , x 22 , ⋯ , x 2 n ) A(x_{11} , x_{12} , \cdots , x_{1n}) , B(x_{21} , x_{22} , \cdots , x_{2n}) A(x11,x12,⋯,x1n),B(x21,x22,⋯,x2n)
则这两个点的切比雪夫距离为：
d A B = M A X i = 1 n ∣ x 1 i − x 2 i ∣ d_AB = MAX_{i = 1}^n \lvert x_{1i} - x_{2i} \rvert dAB=MAXi=1n∣x1i−x2i∣