antiemperor
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马尔可夫不等式、切比雪夫不等式、柯西-施瓦茨不等式

一、马尔可夫不等式（Markov）

马尔可夫不等式描述的是非负随机变量绝对位置的概率上限

对于非负随机变量X，a >= 0，有  

证明：原式可化为

 

注意到，因为 X 非负，右边 

二、切比雪夫不等式（Chebyshev）

切比雪夫不等式描述的是随机变量距期望相对位置偏离的概率上限

证明：记 

右边 

注意到，在 \Phi 中，，因此有

三、柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）

柯西-施瓦茨不等式描述的是协方差与方差之间的不等关系

证明：上式可化为 

可以看到组成部分只有 2 个： 与 

因此构造函数 

显然有 ，所以上述二次函数 

即柯西-施瓦茨不等式

 

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