opencv dft离散傅立叶变换

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概念

傅里叶变换将图像分解成它的正和余弦分量。换句话说，它将图像从它的空间域变换到它的频域。其思想是，任何函数都可以精确地逼近无穷个正函数和余弦函数的和。傅里叶变换是一种方法。二维图像的傅里叶变换在数学上为:

这里f是空间域的图像值，F是频域的图像值。变换的结果是复数。可以通过实像和复像显示，也可以通过幅值和相位图像显示。然而，在整个图像处理算法中，只有幅值图像是有意义的，因为它包含了我们需要的关于图像几何结构的所有信息。然而，如果你打算在这些形式中对图像做一些修改，然后你需要重新转换它，你需要保留这两个。

一、算法步骤

1.将图像扩展到最佳大小

DFT的性能取决于图像的大小。当图像大小是数字2、3和5的倍数时，它往往是最快的。因此，为了获得最大的性能，通常一个好主意是填充边界值的图像，以获得具有这些特征的大小。getOptimalDFTSize()返回这个最佳大小，我们可以使用copyMakeBorder()函数来扩展图像的边框(拓展的像素被初始化为0):

     cv::Mat src;
     src = cv::imread("D:\\QtProject\\Opencv_Example\\dft\\dft.png", cv::IMREAD_GRAYSCALE);
     if (src.empty()) {
       cout << "Cannot load image" << endl;
       return;
     }
    show(src);

    cv::Mat padded;                            
    int m = cv::getOptimalDFTSize( src.rows );
    int n = cv::getOptimalDFTSize( src.cols ); 
    cv::copyMakeBorder(src, padded, 0, m - src.rows, 0, n - src.cols, cv::BORDER_CONSTANT, cv::Scalar::all(0));

2.为复数和实值开辟空间

傅里叶变换的结果是复数。这意味着对于每个图像值，结果是两个图像值。此外，频域范围比其对应空间域大得多。因此，我们通常至少以浮点格式存储这些数据。因此，我们将我们的输入图像转换为这种类型，并扩展它与另一个通道来保存复数值:

    cv::Mat planes[] = {cv::Mat_<float>(padded), cv::Mat::zeros(padded.size(), CV_32F)};
    cv::Mat complexI;
    cv::merge(planes, 2, complexI);        

3.进行离散傅里叶变换

可以就地计算(输入与输出相同):

    cv::dft(complexI, complexI);    

4.将实部和复部转换为振幅

一个复数有一个实部(Re)和一个复数部(虚部Im)。DFT的结果是复数。DFT的振幅为:

    cv::dft(complexI, complexI);            

5.转换到对数尺度

结果表明，傅里叶系数的动态范围太大，无法在屏幕上显示。我们有一些小的和一些高的变化值，我们不能这样观察。因此高的值都是白点，小的值都是黑点。为了使用灰度值来实现可视化，我们可以将线性刻度转换为对数尺度:

    cv::split(complexI, planes);                  
    cv::magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);
    cv::Mat magI = planes[0];
    magI += cv::Scalar::all(1);                    
    cv::log(magI, magI);

6.裁剪和重新排列

在第一步，我们扩展了图像?好了，是时候扔掉这些新引入的价值观了。出于可视化的目的，我们也可以重新排列结果的象限，以便原点(0,0)与图像中心相对应。

    magI = magI(cv::Rect(0, 0, magI.cols & -2, magI.rows & -2));
    int cx = magI.cols/2;
    int cy = magI.rows/2;
    cv::Mat q0(magI, cv::Rect(0, 0, cx, cy));  
    cv::Mat q1(magI, cv::Rect(cx, 0, cx, cy)); 
    cv::Mat q2(magI, cv::Rect(0, cy, cx, cy));  
    cv::Mat q3(magI, cv::Rect(cx, cy, cx, cy)); 
    cv::Mat tmp;                       
    q0.copyTo(tmp);
    q3.copyTo(q0);
    tmp.copyTo(q3);
    q1.copyTo(tmp);                   
    q2.copyTo(q1);
    tmp.copyTo(q2);

7.归一化

这也是为了可视化的目的。我们现在有了幅值，但是这仍然超出了我们图像显示的0到1范围。我们使用cv::normalize()函数将值归一化到这个范围。

    cv::normalize(magI, magI, 0, 1, cv::NORM_MINMAX);                                          
    cv::imshow("Input Image",src);    
    cv::imshow("spectrum magnitude", magI);

运行效果

完整代码

     cv::Mat src;
     src = cv::imread("D:\\QtProject\\Opencv_Example\\dft\\dft.png", cv::IMREAD_GRAYSCALE);
     if (src.empty()) {
       cout << "Cannot load image" << endl;
       return;
     }
    show(src);

    cv::Mat padded;                           
    int m = cv::getOptimalDFTSize( src.rows );
    int n = cv::getOptimalDFTSize( src.cols );
    cv::copyMakeBorder(src, padded, 0, m - src.rows, 0, n - src.cols, cv::BORDER_CONSTANT, cv::Scalar::all(0));

    cv::Mat planes[] = {cv::Mat_<float>(padded), cv::Mat::zeros(padded.size(), CV_32F)};
    cv::Mat complexI;
    cv::merge(planes, 2, complexI);         
    cv::dft(complexI, complexI);            

    cv::split(complexI, planes);                 
    cv::magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);
    cv::Mat magI = planes[0];
    magI += cv::Scalar::all(1);                   
    cv::log(magI, magI);
    magI = magI(cv::Rect(0, 0, magI.cols & -2, magI.rows & -2));
    int cx = magI.cols/2;
    int cy = magI.rows/2;
    cv::Mat q0(magI, cv::Rect(0, 0, cx, cy));   
    cv::Mat q1(magI, cv::Rect(cx, 0, cx, cy));  
    cv::Mat q2(magI, cv::Rect(0, cy, cx, cy)); 
    cv::Mat q3(magI, cv::Rect(cx, cy, cx, cy)); 
    cv::Mat tmp;                         
    q0.copyTo(tmp);
    q3.copyTo(q0);
    tmp.copyTo(q3);
    q1.copyTo(tmp);                   
    q2.copyTo(q1);
    tmp.copyTo(q2);
    cv::normalize(magI, magI, 0, 1, cv::NORM_MINMAX); into a
                                       
    cv::imshow("Input Image",src);  
    cv::imshow("spectrum magnitude", magI);