数据结构---二叉树（1）
1.1树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
①有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
②除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合，每一个集合又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。
1.子树是不相交的。 2.除根结点以外，每个节点有且仅有一个父节点。3.一颗N节点的数有N-1条边。
1.2 树的相关概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；A的度为3、C的度1。
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；J、F、K、L、H、I。
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；A、B、C、D、E、G。
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B 的父节点。
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；B是A的孩子节点。
（亲）兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；B、C是兄弟节点。
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为3。
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4。
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：E、G互为兄弟节点。
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；A是所有节点的祖先。
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。所有节点都是A的子孙。
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林。
1.3 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂,既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。
最常用孩子兄弟表示法。定义一个结构体，包含①指向第一个孩子指针，②指向下一个孩子的指针，③节点存储的数据。
A通过struct Node* _firstChild1找到第一个孩子B；B通过struct Node* _pNextBrother找到他的兄弟节点C；以此类推C找到D；B通过struct Node* _firstChild1找到他的第一个孩子E；E通过struct Node* _pNextBrother找到F（也就是B的下一个儿子），以此类推表示出整个树的结构。
2.二叉树概念及结构
2.1概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
3.二叉树不存在度大于2的结点。
4.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：空树、只有根节点、只有左子树、只有右子树、左右子树均存在。
2.2 特殊的二叉树
① 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k -1，则它就是满二叉树。
② 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3二叉树的性质
1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点。
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h -1。
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有n0＝n2＋1 。
4.若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1) 。[(log2(n+1) 是log以2
为底，n+1为对数]。
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点。
2. 若2i+1
3. 若2i+2
2.4二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
①. 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
②. 链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
3.二叉树的顺序结构及实现
3.1 二叉树的顺序结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
3.2 堆的概念及结构
如果有一个关键码的集合K = { k1，k2 ，…，kn }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储
在一个一维数组中。
如果树中父亲都≥孩子称为大堆；
树中父亲都≤孩子称为小堆。
堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
3.3 堆的实现
3.2.1 堆向上调整算法
现在给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向上调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。
3.2.4 堆的插入
先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。
void HeapPush(HP* php, HPDataType x) 插入一个数据之后，①要保证空间足够（是否需要扩容），②（向上调整算法）要保证堆的结构不变，新插入的数据需要和它的祖先们进行比较。
向上调整算法
3.2.5 堆的删除
删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据跟最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。
①.第一个数（根）和最后一个数位置进行交换
②.删除最后一个数
③.向下调整（向下调整算法要求左右子树都是堆）
