拉式变换，卷积与传递函数

前言

这里主要想记录一下自己对拉式变换，卷积，以及传递函数的理解。之前上学时在某一门课上曾经想通过，但是后面又想不通了，今天重新学习了一下终于又想通了，所以记录下，方便以后能够找到。

这里记录的都是一些理性认识，不会有太多的公式推导。因为我觉得做工程（而非学术）更多的是了解某个原理是什么工作的，要怎么使用，而不应该花过多时间细究其公式推导，没啥用，因为过段时间又忘了。就算是做学术，如果只是拓展知识面的话，很多东西也是不需要细究的！

注：下面记录的都是个人理解，可能存在不严谨之处，欢迎探讨！

正文

一、传递函数与卷积

传递函数就是描述系统的动态过程，如下图：

图1 传递函数时域示意图

上图中各个函数的自变量是时间，是传递函数的时域表达，也是容易被理解的表示方式。其表示的是：对某系统后 $g(t)$ 施加输入$u(t)$ 之后的响应为 $y(t)$。
写成公式是：

$y(t)={\int }_0^{t}u(t-\tau )\ast g(\tau )d\tau$ \quad\quad\quad (1)

其中 $g(t)$ 为系统的单位脉冲响应。

上面的公式(1)（也就是卷积公式）是怎么来的呢？

我们以单位脉冲输入为基础，先只考虑单位脉冲响应，因为其余的阶跃和斜坡输入等都可以很容易由此拓展。当系统的输入为单位脉冲时，它的输出就是单位脉冲响应。已知一个任意的输入$u(t)$ 都可以在每个时刻分解成不同幅值的脉冲信号，根据线性系统的叠加性，这些不同时刻，不同幅值的脉冲信号使该系统产生的响应叠加在一起，就得到了该系统对整体输入信号的响应。
为了方便理解，将上述过程离散化，可以用下图来表示：

图2 时域响应计算示意图

如上图所示：如果想要计算第4T的响应输出 $y(t)$，只需要先将输入拆成5个脉冲信号，然后分别计算输出响应，再求和即可。
假设系统动态 $g(t)$ 为对信号幅值的衰减，
$u(t)$中第0T的信号，在第4T时产生的响应为 $u(0T)\ast g(4T)$ ;
$u(t)$中第1T的信号，在第4T时产生的响应为 $u(1T)\ast g(3T)$ ;
$u(t)$中第2T的信号，在第4T时产生的响应为 $u(2T)\ast g(2T)$ ;
$u(t)$中第3T的信号，在第4T时产生的响应为 $u(3T)\ast g(1T)$ ;
$u(t)$中第4T的信号，在第4T时产生的响应为 $u(4T)\ast g(0T)$ ;

求和之后，得到响应输出 $y(4T)={\sum }_{n=0}^4[u(4T-nT)+g(nT)]$ \quad\quad

外推可得：$y(kT)={\sum }_{n=0}^k[u(kT-nT)+g(nT)]$ \quad\quad (2)

将公式(2)表示成积分形式则可得到公式(1)

二、拉普拉斯变换在中间做了什么？

拉式变换其实就是为了简化上面说的这个卷积运算的

有了拉氏变换之后，公式(1)中对 $g(t)$ 和$u(t)$ 的卷积运算可以变成这样：

首先对 $g(t)$ 和$u(t)$ 做拉式变换变成 $G(s)$ 和 $U(s)$，然后卷积运算就变成了乘积运算，
即： $y(t)$ 的拉式变换 $Y(s)=G(s)\ast U(s)$，如果有必要得到 $y(t)$，只需要将 $Y(s)$ 再进行反变换即可。

但是通常我们不需要时域表达式，所以整个计算过程都可以在复频域（即s域）进行。

用一句话表达拉氏变换在此处的作用的话，那就是： 拉氏变换将时域的信号动态变化过程中复杂的卷积运算简化成了乘积运算。