数据结构与算法之美-35讲Trie树
特别备注
本系列非原创，文章原文摘自极客时间-数据结构算法之美，用于平常学习记录。如有侵权，请联系我删除，谢谢！
搜索引擎的搜索关键词提示功能，我想你应该不陌生吧？为了方便快速输入，当你在搜索引擎的搜索框中，输入要搜索的文字的某一部分的时候，搜索引擎就会自动弹出下拉框，里面是各种关键词提示。你可以直接从下拉框中选择你要搜索的东西，而不用把所有内容都输入进去，一定程度上节省了我们的搜索时间。
尽管这个功能我们几乎天天在用，作为一名工程师，你是否思考过，它是怎么实现的呢？它底层使用的是哪种数据结构和算法呢？
像Google、百度这样的搜索引擎，它们的关键词提示功能非常全面和精准，肯定做了很多优化，但万变不离其宗，底层最基本的原理就是今天要讲的这种数据结构：Trie树。
什么是“Trie树”？
Trie树，也叫“字典树”。顾名思义，它是一个树形结构。它是一种专门处理字符串匹配的数据结构，用来解决在一组字符串集合中快速查找某个字符串的问题。
当然，这样一个问题可以有多种解决方法，比如散列表、红黑树，或者我们前面几节讲到的一些字符串匹配算法，但是，Trie树在这个问题的解决上，有它特有的优点。不仅如此，Trie树能解决的问题也不限于此，我们一会儿慢慢分析。
现在，我们先来看下，Trie树到底长什么样子。
我举个简单的例子来说明一下。我们有6个字符串，它们分别是：how，hi，her，hello，so，see。我们希望在里面多次查找某个字符串是否存在。如果每次查找，都是拿要查找的字符串跟这6个字符串依次进行字符串匹配，那效率就比较低，有没有更高效的方法呢？
这个时候，我们就可以先对这6个字符串做一下预处理，组织成Trie树的结构，之后每次查找，都是在Trie树中进行匹配查找。Trie树的本质，就是利用字符串之间的公共前缀，将重复的前缀合并在一起。最后构造出来的就是下面这个图中的样子。
其中，根节点不包含任何信息。每个节点表示一个字符串中的字符，从根节点到红色节点的一条路径表示一个字符串（注意：红色节点并不都是叶子节点）。
为了让你更容易理解Trie树是怎么构造出来的，我画了一个Trie树构造的分解过程。构造过程的每一步，都相当于往Trie树中插入一个字符串。当所有字符串都插入完成之后，Trie树就构造好了。
当我们在Trie树中查找一个字符串的时候，比如查找字符串“her”，那我们将要查找的字符串分割成单个的字符h，e，r，然后从Trie树的根节点开始匹配。如图所示，绿色的路径就是在Trie树中匹配的路径。
如果我们要查找的是字符串“he”呢？我们还用上面同样的方法，从根节点开始，沿着某条路径来匹配，如图所示，绿色的路径，是字符串“he”匹配的路径。但是，路径的最后一个节点“e”并不是红色的。也就是说，“he”是某个字符串的前缀子串，但并不能完全匹配任何字符串。
如何实现一棵Trie树？
知道了Trie树长什么样子，我们现在来看下，如何用代码来实现一个Trie树。
从刚刚Trie树的介绍来看，Trie树主要有两个操作，一个是将字符串集合构造成Trie树。这个过程分解开来的话，就是一个将字符串插入到Trie树的过程。另一个是在Trie树中查询一个字符串。
了解了Trie树的两个主要操作之后，我们再来看下，如何存储一个Trie树？
从前面的图中，我们可以看出，Trie树是一个多叉树。我们知道，二叉树中，一个节点的左右子节点是通过两个指针来存储的，如下所示Java代码。那对于多叉树来说，我们怎么存储一个节点的所有子节点的指针呢？
class BinaryTreeNode {
char data;
BinaryTreeNode left;
BinaryTreeNode right;
}
我先介绍其中一种存储方式，也是经典的存储方式，大部分数据结构和算法书籍中都是这么讲的。还记得我们前面讲到的散列表吗？借助散列表的思想，我们通过一个下标与字符一一映射的数组，来存储子节点的指针。这句话稍微有点抽象，不怎么好懂，我画了一张图你可以看看。
假设我们的字符串中只有从a到z这26个小写字母，我们在数组中下标为0的位置，存储指向子节点a的指针，下标为1的位置存储指向子节点b的指针，以此类推，下标为25的位置，存储的是指向的子节点z的指针。如果某个字符的子节点不存在，我们就在对应的下标的位置存储null。
class TrieNode {
char data;
TrieNode children[26];
}
当我们在Trie树中查找字符串的时候，我们就可以通过字符的ASCII码减去“a”的ASCII码，迅速找到匹配的子节点的指针。比如，d的ASCII码减去a的ASCII码就是3，那子节点d的指针就存储在数组中下标为3的位置中。
描述了这么多，有可能你还是有点懵，我把上面的描述翻译成了代码，你可以结合着一块看下，应该有助于你理解。
public class Trie {
private TrieNode root = new TrieNode('/'); // 存储无意义字符
// 往Trie树中插入一个字符串
public void insert(char[] text) {
TrieNode p = root;
for (int i = 0; i < text.length; ++i) {
int index = text[i] - 'a';
if (p.children[index] == null) {
TrieNode newNode = new TrieNode(text[i]);
p.children[index] = newNode;
}
p = p.children[index];
}
p.isEndingChar = true;
}
// 在Trie树中查找一个字符串
public boolean find(char[] pattern) {
TrieNode p = root;
for (int i = 0; i < pattern.length; ++i) {
int index = pattern[i] - 'a';
if (p.children[index] == null) {
return false; // 不存在pattern
}
p = p.children[index];
}
if (p.isEndingChar == false) return false; // 不能完全匹配，只是前缀
else return true; // 找到pattern
}
public class TrieNode {
public char data;
public TrieNode[] children = new TrieNode[26];
public boolean isEndingChar = false;
public TrieNode(char data) {
this.data = data;
}
}
}
Trie树的实现，你现在应该搞懂了。现在，我们来看下，在Trie树中，查找某个字符串的时间复杂度是多少？
如果要在一组字符串中，频繁地查询某些字符串，用Trie树会非常高效。构建Trie树的过程，需要扫描所有的字符串，时间复杂度是O(n)（n表示所有字符串的长度和）。但是一旦构建成功之后，后续的查询操作会非常高效。
每次查询时，如果要查询的字符串长度是k，那我们只需要比对大约k个节点，就能完成查询操作。跟原本那组字符串的长度和个数没有任何关系。所以说，构建好Trie树后，在其中查找字符串的时间复杂度是O(k)，k表示要查找的字符串的长度。
Trie树真的很耗内存吗？
前面我们讲了Trie树的实现，也分析了时间复杂度。现在你应该知道，Trie树是一种非常独特的、高效的字符串匹配方法。但是，关于Trie树，你有没有听过这样一种说法：“Trie树是非常耗内存的，用的是一种空间换时间的思路”。这是什么原因呢？
刚刚我们在讲Trie树的实现的时候，讲到用数组来存储一个节点的子节点的指针。如果字符串中包含从a到z这26个字符，那每个节点都要存储一个长度为26的数组，并且每个数组存储一个8字节指针（或者是4字节，这个大小跟CPU、操作系统、编译器等有关）。而且，即便一个节点只有很少的子节点，远小于26个，比如3、4个，我们也要维护一个长度为26的数组。
我们前面讲过，Trie树的本质是避免重复存储一组字符串的相同前缀子串，但是现在每个字符（对应一个节点）的存储远远大于1个字节。按照我们上面举的例子，数组长度为26，每个元素是8字节，那每个节点就会额外需要26*8=208个字节。而且这还是只包含26个字符的情况。
如果字符串中不仅包含小写字母，还包含大写字母、数字、甚至是中文，那需要的存储空间就更多了。所以，也就是说，在某些情况下，Trie树不一定会节省存储空间。在重复的前缀并不多的情况下，Trie树不但不能节省内存，还有可能会浪费更多的内存。
当然，我们不可否认，Trie树尽管有可能很浪费内存，但是确实非常高效。那为了解决这个内存问题，我们是否有其他办法呢？
我们可以稍微牺牲一点查询的效率，将每个节点中的数组换成其他数据结构，来存储一个节点的子节点指针。用哪种数据结构呢？我们的选择其实有很多，比如有序数组、跳表、散列表、红黑树等。
假设我们用有序数组，数组中的指针按照所指向的子节点中的字符的大小顺序排列。查询的时候，我们可以通过二分查找的方法，快速查找到某个字符应该匹配的子节点的指针。但是，在往Trie树中插入一个字符串的时候，我们为了维护数组中数据的有序性，就会稍微慢了点。
替换成其他数据结构的思路是类似的，这里我就不一一分析了，你可以结合前面学过的内容，自己分析一下。
实际上，Trie树的变体有很多，都可以在一定程度上解决内存消耗的问题。比如，缩点优化，就是对只有一个子节点的节点，而且此节点不是一个串的结束节点，可以将此节点与子节点合并。这样可以节省空间，但却增加了编码难度。这里我就不展开详细讲解了，你如果感兴趣，可以自行研究下。
Trie树与散列表、红黑树的比较
实际上，字符串的匹配问题，笼统上讲，其实就是数据的查找问题。对于支持动态数据高效操作的数据结构，我们前面已经讲过好多了，比如散列表、红黑树、跳表等等。实际上，这些数据结构也可以实现在一组字符串中查找字符串的功能。我们选了两种数据结构，散列表和红黑树，跟Trie树比较一下，看看它们各自的优缺点和应用场景。
在刚刚讲的这个场景，在一组字符串中查找字符串，Trie树实际上表现得并不好。它对要处理的字符串有及其严苛的要求。
第一，字符串中包含的字符集不能太大。我们前面讲到，如果字符集太大，那存储空间可能就会浪费很多。即便可以优化，但也要付出牺牲查询、插入效率的代价。
第二，要求字符串的前缀重合比较多，不然空间消耗会变大很多。
第三，如果要用Trie树解决问题，那我们就要自己从零开始实现一个Trie树，还要保证没有bug，这个在工程上是将简单问题复杂化，除非必须，一般不建议这样做。
第四，我们知道，通过指针串起来的数据块是不连续的，而Trie树中用到了指针，所以，对缓存并不友好，性能上会打个折扣。
综合这几点，针对在一组字符串中查找字符串的问题，我们在工程中，更倾向于用散列表或者红黑树。因为这两种数据结构，我们都不需要自己去实现，直接利用编程语言中提供的现成类库就行了。
讲到这里，你可能要疑惑了，讲了半天，我对Trie树一通否定，还让你用红黑树或者散列表，那Trie树是不是就没用了呢？是不是今天的内容就白学了呢？
实际上，Trie树只是不适合精确匹配查找，这种问题更适合用散列表或者红黑树来解决。Trie树比较适合的是查找前缀匹配的字符串，也就是类似开篇问题的那种场景。
解答开篇
Trie树就讲完了，我们来看下开篇提到的问题：如何利用Trie树，实现搜索关键词的提示功能？
我们假设关键词库由用户的热门搜索关键词组成。我们将这个词库构建成一个Trie树。当用户输入其中某个单词的时候，把这个词作为一个前缀子串在Trie树中匹配。为了讲解方便，我们假设词库里只有hello、her、hi、how、so、see这6个关键词。当用户输入了字母h的时候，我们就把以h为前缀的hello、her、hi、how展示在搜索提示框内。当用户继续键入字母e的时候，我们就把以he为前缀的hello、her展示在搜索提示框内。这就是搜索关键词提示的最基本的算法原理。
不过，我讲的只是最基本的实现原理，实际上，搜索引擎的搜索关键词提示功能远非我讲的这么简单。如果再稍微深入一点，你就会想到，上面的解决办法遇到下面几个问题：
- 我刚讲的思路是针对英文的搜索关键词提示，对于更加复杂的中文来说，词库中的数据又该如何构建成Trie树呢？
- 如果词库中有很多关键词，在搜索提示的时候，用户输入关键词，作为前缀在Trie树中可以匹配的关键词也有很多，如何选择展示哪些内容呢？
- 像Google这样的搜索引擎，用户单词拼写错误的情况下，Google还是可以使用正确的拼写来做关键词提示，这个又是怎么做到的呢？
你可以先思考一下如何来解决，如果不会也没关系，这些问题，我们会在实战篇里具体来讲解。
实际上，Trie树的这个应用可以扩展到更加广泛的一个应用上，就是自动输入补全，比如输入法自动补全功能、IDE代码编辑器自动补全功能、浏览器网址输入的自动补全功能等等。
内容小结
今天我们讲了一种特殊的树，Trie树。Trie树是一种解决字符串快速匹配问题的数据结构。如果用来构建Trie树的这一组字符串中，前缀重复的情况不是很多，那Trie树这种数据结构总体上来讲是比较费内存的，是一种空间换时间的解决问题思路。
尽管比较耗费内存，但是对内存不敏感或者内存消耗在接受范围内的情况下，在Trie树中做字符串匹配还是非常高效的，时间复杂度是O(k)，k表示要匹配的字符串的长度。
但是，Trie树的优势并不在于，用它来做动态集合数据的查找，因为，这个工作完全可以用更加合适的散列表或者红黑树来替代。Trie树最有优势的是查找前缀匹配的字符串，比如搜索引擎中的关键词提示功能这个场景，就比较适合用它来解决，也是Trie树比较经典的应用场景
特别备注
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