【算法问题】删除k个数字后的最小值

删除k个数字后的最小值

摘自漫画算法：

题目：给出一个整数，从该整数中去掉k个数字，要求剩下的数字形成的新整数尽可能小，应该如何选取被去掉的数字？

其中整数的长度大于或等于k，给出的整数大小可以超过long类型的数字范围。什么意思？

例子：

假设给出一个整数1593212，删去3个数字，新整数最小的情况是1212。

图1.png

假设给出一个整数30200，删去1个数字，新整数最小的情况是200。

图2.png

假设给出一个整数10，删去2个数字（注意，这里要求删去的不是1个数字，而是2个），新整数的最小情况是0。

图3.png

解题思路

这个题目要求我们删去k个数字，但我们不妨把问题简化一下：如果只删除1个数字，如何让新整数的值最小？

我的第一感觉是优先删除最大的数字，但是不对。

注意：数字的大小固然重要，数字的位置则更加重要。大家可以想一想，一个整数的最高位哪怕只减少1位，对数值的影响也是非常大的。

例子：

给出一个整数541270936，要求删去1个数字，让剩下的整数尽可能小。

此时，无论删除哪一个数字，最后的结果都是从9位整数变成8位整数。既然同样是8位整数，显然应该优先把高位的数字降低，这样对新整数的值影响最大。

解题思路 — 图1.png

如何把高位的数字降低呢？很简单，把原整数的所有数字从左到右进行比较，如果发现某一位数字大于它右面的数字，那么在删除该数字后，必然会使该数位的值降低，因为右面比它小的数字顶替了它的位置。

在上面这个例子中，数字5右侧的数字小于5，所以删除数字5，最高位数字降低成了4。

对于整数541270936，删除一个数字所能得到的最小值是41270936。那么对于41270936，删除一个数字的最小值是多少呢？

解题思路 — 图2.png

接下来，从刚才的结果1270936中再删除一个数字，能得到的最小值又是多少呢？

由于1<2，2<7，7>0，所以被删除的数字为7。

解题思路 — 图3.png

这里的每一步都要求得到删除一个数字后的最小值，经历3次，相当于求出了删除k（k=3）个数字后的最小值。

像这样依次求得局部最优解，最终得到全局最优解的思想，叫作贪心算法。

代码实现

/**
 * 描述：删除k个数字后的最小值问题。
 * 

 * Create By ZhangBiao
 * 2020/6/8
 */
public class RemoveKDigits {

    /**
     * 删除整数的k个数字，获取删除后的最小值
     *
     * @param num 原整数
     * @param k   删除数量
     * @return
     */
    public static String removeKDigits(String num, int k) {
        // 新整数的最终长度 = 原整数长度 - k
        int newLength = num.length() - k;
        // 创建一个栈，用于接收所有的数字
        char[] stack = new char[num.length()];
        int top = 0;
        for (int i = 0; i < num.length(); i++) {
            // 遍历当前数字
            char c = num.charAt(i);
            // 当栈顶数字大于遍历到的当前数字时，栈顶数字出栈（相当于删除数字）
            while (top > 0 && stack[top - 1] > c && k > 0) {
                top -= 1;
                k -= 1;
            }
            // 遍历到的当前数字入栈
            stack[top++] = c;
        }
        // 找到栈中第1个非零数字的位置，依次构建新的字符串
        int offset = 0;
        while (offset < newLength && stack[offset] == '0') {
            offset++;
        }
        return offset == newLength ? "0" : new String(stack, offset, newLength - offset);
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(removeKDigits("1593212", 3));
        System.out.println(removeKDigits("30200", 1));
        System.out.println(removeKDigits("10", 2));
        System.out.println(removeKDigits("541270936", 3));
    }

}

上述代码非常巧妙地运用了栈的特性，在遍历原整数的数字时，让所有数字一个一个入栈，当某个数字需要删除时，让该数字出栈。最后，程序把栈中的元素转化为字符串类型的结果。

下面仍然以整数541270936，k=3为例：

• 当遍历到数字5时，数字5入栈。

代码实现 — 图1.png

• 当遍历到数字4时，发现栈顶5>4，栈顶5出栈，数字4入栈。

代码实现 — 图2.png

• 当遍历到数字1时，发现栈顶4>1，栈顶4出栈，数字1入栈。

代码实现 — 图3.png

• 然后继续遍历数字2、数字7，并依次入栈。

代码实现 — 图4.png

• 最后，遍历数字0，发现栈顶7>0，栈顶7出栈，数字0入栈。

代码实现 — 图5.png

• 此时k的次数已经用完，无序再次比较，让剩下的数字一起入栈即可。

代码实现 — 图6.png

此时栈中的元素就是最终的结果。

上面的方法只对所有数字遍历了一次，遍历的时间复杂度是O(n)，把栈转化为字符串的时间复杂度也是O(n)，所以最终的时间复杂度是O(n)。

同时，程序中利用栈来回溯遍历过的数字及删除数字，所以程序的空间复杂度是O(n)。