多项分布与生态学

先说「二项分布（binomial distribution）」，因为它是多项分布的特殊情况。二项分布就是抛硬币。现投次硬币，记正面朝上的次数为，反面朝上的次数为，每次投币正面朝上的可能性为，反面朝上的可能性为。最终，有次实验硬币投出正面、有次实验硬币投出反面的可能性为：

因为、，该式也可化为我们更熟悉的形式：

「多项分布（multinomial distribution）」，简单来说就是投骰子。这个骰子可以不止有6个面（如果你见过那种神奇的多边形骰子的话；我甚至见过32个面的）。

有一种美，叫做数学演绎美，它让我们凭直觉写出正确的表达式——多项分布的联合概率分布：

其中，，表示骰子有多少面。

一、参数估计：π

有了统计分布，接下来干什么呢？也许是「参数估计」吧。这应该是最常规的想法。想想，是不是这样呢？通常，人们知道了模型的拓扑结构，下一步便渴望估计出模型参数，因为「拓扑结构」和「模型参数」构成了完整的「模型」。神经网络、马尔可夫链……一个又一个模型，似乎都是如此。

那我们就用极大似然法估计多项分布的模型参数吧。将似然函数（联合概率分布函数）取对数：

其中，，。接下来，需要求该似然函数的驻点。

拉格朗日乘数法（lagrange multiplier method）

已经好久没有接触它了，既十分熟悉，又有点陌生。至少，它让我们怀念起大一时坐在教室里的那段时光。

它是一种求多元函数在一个或者多个约束条件下极值的一种方法。

对于函数和一组限制条件，要求该函数的驻点，可先构造拉格朗日函数：

计算拉格朗日函数的驻点，它就是原函数的最值怀疑点：

对于多项分布的似然函数，求其驻点，满足：，以及

将求得的驻点、化简，得：。这非常符合直觉。也就是说，要估计多项分布的参数，我们直接多投几次骰子，统计下每个面出现的频率，就把多项分布的参数算出来了。

二、参数估计：m

有没有注意到，上述过程估计出了参数，但还没有估计参数。如果未知，那么模型依然是不完全的。

如何估计呢？

设想一下，现在投一个骰子，但骰子有几面是不清楚的。现在投次，是否能够保证骰子中的每一面都能有露脸的机会呢？显然不一定。可能有几面（例如，4点）出现的频率特别高，有几面（例如，7点）出现的频率特别低，甚至有几面根本就没有出现。因而露脸的骰子面数和骰子真实的面数是不能划等号的。

取而代之的是，会有个面永远都不会露脸。

假设每个面出现的概率为，则每个面都有可能永不露脸，其概率为。

因而不露脸的面的数量的数学期望。同理，

这样，我们想知道的就等于观测到的露脸的面数加上。但我们只能从实验中测得，表达式本身还含有，因此我们必须想办法把这个弄掉。这在高中阶段，叫做不等式放缩。

根据柯西不等式，

也即，

所以，。和的确是能够从数据中获得的。

生态学者看到这个式子应该都觉得十分亲切，因为它就是赵莲菊老师在1984年提出的生物多样性测度，后人称之为统计量。这个统计量的使用频率就不用多说了，比如最近的一篇文章《The number of tree species on Earth》。

有了和的估计方法后，多项分布就能很好地进行重建了。

三、生态学中的多项分布

生态学是一门研究与生命系统相关（≥个体水平）的各种模式及其成因的一门学科。生态学中的数据大到遥感，小到基因测序，对现实世界中的各种研究对象及其相关属性进行采样。

样地调查是生态学中最常见的数据收集方式。对一个区域进行物种调查，每个物种都有一定几率被发现。假定物种被发现的概率与其真实频率相同，那么物种被取到的概率就满足多项分布。

分子标记技术的发展为揭示生态学现象提供新的工具。在基因组中选取某个位点，这个位点出现A、T、C、G的可能性各不相同，满足多项分布。系统发育树构建时，选取个物种，每个物种的每个位点都有A、T、C、G四种可能，那么对于单一位点，就有种可能，这种可能的概率分布满足多项分布。

无人机从空中飞过，拍摄出各种各样的景观：林木、林窗、水体……这也是多项分布。

估测多项分布有多少种，可以用统计量；

估测每一项的概率，频率 ≈ 概率。