数据结构：AVL树讲解（C++）
AVL树
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- 1.AVL树的概念
- 2.平衡因子
- 3.节点的定义
- 4.插入操作
- 5.旋转操作（重点）
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- 5.1左单旋
- 5.2右单旋
- 5.3左右双旋
- 5.4右左双旋
- 6.一些简单的测试接口
- 7.完整代码
1.AVL树的概念
普通二叉搜索树：二叉搜索树
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序普通的二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法(AVL树是以这两位的名字命名的)：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，超过了需要对树中的结点进行调整(旋转)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
AVL树也是二叉搜索树，但有以下特点：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
- 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n)，搜索时间复杂度O( l o g 2 n log_2 n log2n)。
2.平衡因子
AVL树的实现有很多种，本文引入平衡因子来维持高度稳定。
本文平衡因子的定义：右子树高度 - 左子树的高度。
依据每个节点的平衡因子，我们可以判断树的情况：
- 平衡因子在(-1, 0, 1)，当前节点所在子树是稳定的。
- 平衡因子为2或-2，当前节点所在子树是不稳定的。
插入节点后平衡因子的更新：
- 插入节点在右子树，平衡因子加一。
- 插入节点在左子树，平衡因子减一。
插入节点后平衡因子的不同情况（重点）：
- 当前节点所在子树平衡因子为0，子树高度不变，不需要更新
（原来一边高一边低，新插入在低一方，变成完全平衡）。 - 当前节点所在子树平衡因子为1或-1，子树高度变化，需要向上更新。
（原来完全平衡，现在一边高，子树整体高度加1，会影响到祖先的平衡，故需要向上更新看祖先所在子树是否平衡） - 当前节点所在子树平衡因子为2或-2，子树高度变化且不平衡，无需向上更新，对当前子树进行旋转操作。
（当前子树已不平衡，向上更新没有意义，旋转操作是AVL树的核心，可以降低当前子树的高度且不影响上面的树结构）
3.节点的定义
节点除了需要增加一个平衡因子，还需要增加一个父亲指针，方便我们进行平衡因子的向上更新和旋转操作。
template<class K, class V>
struct ALVTreeNode
{
ALVTreeNode<K, V>* _left;
ALVTreeNode<K, V>* _right;
ALVTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv; //存储键值对
int _bf; //平衡因子
ALVTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
,_kv(kv)
{}
};
4.插入操作
PS：因为多加了一个父亲指针，所以插入时要注意更新父亲指针，平衡因子更新按前面的分析来还是比较简单的，旋转操作后面单独讲。
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr) //一开始为空树，直接插入即可
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
//找插入位置加插入
Node* cur = _root; //记录插入位置
Node* parent = nullptr; //待插入位置的父亲
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first) //待插入节点在右子树
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first) //待插入节点在左子树
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else //待插入节点已存在
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (kv.first > parent->_kv.first) //插入在父亲的右边
{
parent->_right = cur;
}
else //插入在父亲的左边
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent; //注意更新父亲指针
//调整平衡因子
while (parent) //是有可能调整到根部的
{
if (cur == parent->_right) //如果新插入的在右子树
{
parent->_bf++;
}
else if (cur == parent->_left) //如果新插入的在左子树
{
parent->_bf--;
}
if (parent->_bf == 0) //插入后高度不变
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) //插入后高度变化，但当前子树依然平衡，需要向上更新
{
parent = parent->_parent;
cur = cur->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) //插入后高度变化，并且当前子树已经不平衡,旋转
{
//旋转操作（先省略）
break;
}
else //存在大于2小于-2的情况，树原来就不平衡，应该报错
{
assert(false);
}
}
return true;
}
5.旋转操作（重点）
5.1左单旋
主体思想：
平衡因子的调整：
代码加细节处理：
void RotateL(Node* parent) //左单旋,rotate->旋转
{
Node* SubR = parent->_right;
Node* SubRL = SubR->_left; //这个有可能为空
Node* ppnode = parent->_parent; //原来父亲的父亲
parent->_right = SubRL;
if(SubRL) SubRL->_parent = parent;
SubR->_left = parent;
parent->_parent = SubR;
if (ppnode == nullptr) //旋转的是整颗树
{
_root = SubR;
SubR->_parent = nullptr;
}
else //旋转的是部分
{
if (ppnode->_left == parent) //是左子树
{
ppnode->_left = SubR;
}
else //是右子树
{
ppnode->_right = SubR;
}
SubR->_parent = ppnode;
}
//最后更新平衡因子
parent->_bf = SubR->_bf = 0;
}
5.2右单旋
PS：右单旋和左单旋类似，细节处理也差不多，这里只讲主体思路。
主体思路：
平衡因子的调整：
代码：
void RotateR(Node* parent) //右单旋细节处理和左单旋差不多
{
Node* SubL = parent->_left;
Node* SubLR = SubL->_right; //这个有可能为空
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_left = SubLR;
if(SubLR) SubLR->_parent = parent;
SubL->_right = parent;
parent->_parent = SubL;
if (ppnode == nullptr) //旋转的是整颗树
{
_root = SubL;
SubL->_parent = nullptr;
}
else //旋转部分
{
if (ppnode->_left == parent) //是左子树
{
ppnode->_left = SubL;
}
else //右子树
{
ppnode->_right = SubL;
}
SubL->_parent = ppnode;
}
//最后更新平衡因子
parent->_bf = SubL->_bf = 0;
}
5.3左右双旋
PS：双旋其实就是两次单旋(复用即可)，有前面的基础很好理解，重点在于旋转后平衡因子的更新。
旋转思路：
平衡因子的调整：
想知道平衡因子调整是那种情况，我们需要在旋转前记录SubRL的平衡因子bf：
- bf为0是第一种情况。
- bf为1是第二种情况。
- bf为-1是第三种情况。
代码：
void RotateLR(Node* parent) //左右双旋
{
Node* SubL = parent->_left;
Node* SubLR = SubL->_right;
int bf = SubLR->_bf;
RotateL(SubL);
RotateR(parent);
if (bf == 1) //插入的是右边
{
SubLR->_bf = 0;
SubL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == -1) //插入的是左边
{
SubLR->_bf = 0;
SubL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 0) //刚好原来parent的左边就两个节点
{
SubLR->_bf = SubL->_bf = parent->_bf = 0;
}
else //原来就不是平衡树，出现问题
{
assert(false);
}
}
5.4右左双旋
PS：右左双旋和左右双旋思路是差不多的，重点还是在旋转后平衡因子的更新。
旋转思路：
平衡因子的调整：
和前面一样，旋转前确认SubRL的平衡因子bf即可。
代码：
void RotateRL(Node* parent) //右左双旋
{
Node* SubR = parent->_right;
Node* SubRL = SubR->_left;
int bf = SubRL->_bf;
RotateR(SubR);
RotateL(parent);
if (bf == 1) //插入的是右边
{
SubRL->_bf = 0;
SubR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1) //插入的是左边
{
SubRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
SubR->_bf = 1;
}
else if (bf == 0) //原来parent的右边就两个节点
{
SubRL->_bf = SubR->_bf = parent->_bf = 0;
}
else //原来就有问题
{
assert(false);
}
}
6.一些简单的测试接口
int Height()
{
return _Height(_root);
}
int _Height(Node* root) //求高度的
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool IsBalance()
{
return IsBalance(_root);
}
//看当前树是不是平衡树
//（1）看每个子树是否满足左右子树高度差不超过一
//（2）看平衡因子和所求的左右子树高度差是否一致
bool IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftHight = _Height(root->_left);
int rightHight = _Height(root->_right);
if (rightHight - leftHight != root->_bf)
{
cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << "->" << root->_bf << endl;
return false;
}
return abs(rightHight - leftHight) < 2
&& IsBalance(root->_left)
&& IsBalance(root->_right);
}
7.完整代码
#pragma once
#include