2022-02-15-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P095 习题10）
求最小的正整数,使得至少存在两个由正整数组成的数列满足下述条件:
(1)对任意正整数,都有;
(2)对任意正整数,都有;
(3).
解
利用可知,依题中条件,可知不定方程
有至少两组正整数解,使得.
注意到,若有两组正整数解和,使得,,则,由对称性,不妨设,那么,此时,由可得,导致矛盾,故,从而有,(用到),所以,得,结合可知.
另一方面,当时,有两组不同的正整数解,它们是和,分别对应的形成两个符合要求的数列综上可知,所求最小正整数为748.
2022-02-15-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P095 习题11）
Fibonacci数列定义如下:,,.求所有的正整数数对,.使得如下定义的数列:
包含等于1的项.
解
若,则(因为数列是不减数列),于是,结合的定义可知,进而利用数学归纳法易证:对,都有.此时,中不包含等于1的项.所以,而,故只能是.
另一方面,对任意,若,则由的定义可知(除非,,此时,数列中已包含1),得,依此递推,当为奇数时,设,则有,,,符合题意;当为偶数时,设,则有,,,此后数列的每一项都不大于零,不符合题意.
综上可知,所求正整数对,.
2022-02-15-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P095 习题12）
小张从中任取一个数,小王希望有偿地知道小张所取的数.小王每次可从中取一个子集,然后问小张:“你取的数是否属于?”如果答案是Yes,则小王付给小张2元钱,答案是No,则付1元问:小王至少需要支付多少元钱,才能保证可以知道小张所取的数?
解
答案是11元钱.
设是从中确定小张所取的数所需支付的最少钱数,则是一个不减数列.并且如果小王第一次所取的子集是一个元集,那么.
下面我们利用Fibonacci数列,证明下述结论:设为正整数,并且,则
先证明:对任意,均有
事实上,当时,,易知.设对小于的正整数,都成立.考虑的情形,小王第一次取一个子集,使其元素个数为,就有(这里认为).所以对一切正整数成立.
再证明:对任意,,,均有.
当时,,此时易知,故对成立.设命题对小于的正整数成立,考虑的情形.对任意,(注意,这里,故).
如果小王第一次取的子集的元素个数,那么小王至少应付的钱数;如果小王第一次取的子集的元素个数,那么他至少应付的钱款数.所以,.
综上可知,结论成立.利用这个结论,结合,可知小王至少要支付11元,才能保证找到小张所取的数.