米勒-拉宾素数检测法（判断一个极大的数是否为质数）——算法解析

一、算法简介

在算法竞赛中，我们时常会遇到需要判断一个数是否为质数的问题。我们常常利用筛法来解决这个问题，但是当需要判断的数变得很大时，筛法已经无法满足我们的需求。于是我们采用了一个新的方法：Miller-Rabin素数检测。

二、算法分析

1.前置知识

（1）费马小定理

• 由费马小定理可知，若$p$为质数且$a$不是$p$的倍数，$a^{p-1}\equiv 1(modp)$成立。
• 反过来，如果存在某个$p$满足：$a^{p-1}\equiv 1(modp)$，并不一定意味着$p$是质数，例如$2^{341-1}\equiv 1(modp)$ ，但$341$是合数。
• 满足该同余等式的合数被称为费马伪素数。但这样的数并不多，满足这个条件的数很多都是质数。

（2）另一个定理

①定理内容

• 如果$p$是一个素数，$0<x<p$, 则方程 $x^2\equiv 1(modp)$的解为$x=1$或$x=p-1$
• 反之，如果$x^2\equiv 1(modp)$的解不是$x=1$或$x=p-1$ 那$p$就不是素数

②定理证明

• $x^2\equiv 1(modp)$ 可以移项变成$x^2-1\equiv 0(modp)$

• 展开可得$(x-1)(x+1)\equiv 0(modp)$，即$p|(x-1)(x+1)$或$x=p-1$

• 由欧几里得引理可得：$p$素数，如果$p|bc$那么$p|b$或者$p|c$。所以若$p$是个质数，则$p|x-1$或$p|x+1$，即$x\equiv \pm 1(modp)$

• 所以解为$x=1$或$x=p-1$

2.算法过程

• 假设$n$是一个大于$2$素数，则$n-1$为偶数，可被表示为$2^{s}d$，$s$和$d$都是正整数且$d$为奇数。 这样一串数字（每一个都是前一个的平方)的性质。

• 考虑$a^d,a^{2d},a^{4d},...,a^{2^{s}d}$这一串数。我们已经知道对于奇素数$n$，$a^{n-1}\equiv 1(modn)$即$a^{2^{s}d}\equiv 1(modn)$（$a$是$x$倍数的情形特判）。根据第二个定理的内容:

  • 若第一个数是取余结果是$1$，则显然后续的所有数都是$1$且取余结果是$1$，满足条件。
  • 若除开头和尾，中间出现取余结果为$1$的数，则说明解不是$x=1$或者$x=p-1$，即这个数不是素数。
  • 若非最后一个值中出现取余结果为$p-1$的情况，则说明接下来的所有数都是$1$且取余结果都是$1$，满足条件。

• 也就是说这串数要么全是$1$，要么中间某个数是$-1$，并且从那往后全是$1$ 。如果满足这个条件，$x$就很可能是素数，否则一定不是质数。于是我们选择一些$a$并验证是否符合条件即可，这就是米勒-拉宾素性检验。

• 时间复杂度为$O(k\log n)$

三、模板程序

米勒-拉宾素性检验是一种概率算法，有一定的概率出错。但是，Jim Sinclair发现了一组数：$2，325，9375,28178，450775，9780504，1795265022$。用它们做$a$，$2^{64}$以内不会出错，我们使用这组数，就不用担心运气太差了。因为使用固定的7个数，所以时间复杂度为$O(7\log n)$，远远优于传统方法的$O(\sqrt{n})$。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include  
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qpow(ll a,ll n,ll p)
{
	ll ans=1;
	while(n)
	{
		if(n&1)
			ans=(__int128)ans*a%p;
		a=(__int128)a * a % p;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
bool is_prime(ll x)
{
	if(x<3)
		return x==2;
	if(x%2==0)
        return false;
    ll A[7]={2,325,9375,28178,450775,9780504,1795265022},d=x-1,r=0;
    while(d%2==0)
		d/=2,++r;
	for(ll i=0;i<=6;i++)
	{
		ll v=qpow(A[i],d,x);
		if(v<=1 || v==x-1) 
			continue;
		for(ll i=0;i<r;i++)
		{
			v=(__int128)v*v%x;
			if(v==x-1 && i!=r-1)
			{
				v=1;
				break;
			}
			if(v==1)
				return false;
		}
		if(v!=1)
			return false;
	}
	return true;
}
int main()
{
	while(1)
	{
		ll temp;
		scanf("%lld",&temp);
		cout<<is_prime(temp)<<endl;
	}
	
	return 0;
}