微分方程,含矩阵的指数函数
d u d t = A u \frac{du}{dt}=Au dtdu=Au
解会长这样 u ( t ) = c 1 e λ 1 t x 1 + c 2 e λ 2 t x 2 + . . . u(t)=c_1e^{\lambda_1t}x_1+c_2e^{\lambda_2t}x_2+... u(t)=c1eλ1tx1+c2eλ2tx2+...
因为 e λ t x e^{\lambda t}x eλtx的导数是 λ e λ t x \lambda e^{\lambda t}x λeλtx 刚好满足 λ x = A x \lambda x=Ax λx=Ax的形式,只不过中插了一个 e λ t e^{\lambda t} eλt,所以解的形状会是特征向量和特征值结合自然指数函数构造出的线性组合
这描述了一些趋势,如果特征值小于零,解的相应分量就会在无穷大出逼近0,如果有绝对值小于1的特征值,解相应分量就会趋于稳态常数,存在特征值大于零,解就会在无穷大处取无穷大
令 u = S v u=Sv u=Sv, S S S是A特征向量的堆叠
就会有 S d v d t = A S v → d v d t = S − 1 A S v = Λ v S\frac{dv}{dt}=ASv \rightarrow \frac{dv}{dt}=S^{-1}ASv=\Lambda v Sdtdv=ASv→dtdv=S−1ASv=Λv
这是对原方程解耦合,因为原本是导数 A u Au Au存在 u u u不同分量相乘的情况,变成解耦之后各个分量互不干扰
带矩阵的指数函数 e A t e^{At} eAt
通过泰勒展开有
e A t = I + A t + ( A t ) 2 2 + . . . + ( A t ) n n ! e^{At}=I+At+\frac{(At)^2}{2}+...+\frac{(At)^n}{n!} eAt=I+At+2(At)2+...+n!(At)n
= S S − 1 + S Λ S − 1 t + S Λ 2 S − 1 2 t 2 + . . . =SS^{-1}+S\Lambda S^{-1}t+\frac{S\Lambda^2S^{-1}}{2}t^2+... =SS−1+SΛS−1t+2SΛ2S−1t2+...
= S e Λ t S − 1 =Se^{\Lambda t}S^{-1} =SeΛtS−1
e Λ t e^{\Lambda t} eΛt是对角元素为 e λ i t e^{\lambda_it} eλit对角矩阵
对于微分方程 y ′ ′ + k y ′ + y = 0 y''+ky'+y=0 y′′+ky′+y=0,可以构造这种形式建立 u ′ u' u′和 u u u的关系
u = [ y ′ y ] , u ′ = [ y ′ ′ y ′ ] = [ − b − k 1 0 ] u u=\begin{bmatrix}y'\\y\end{bmatrix},u'=\begin{bmatrix}y''\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-b&-k\\1&0\end{bmatrix}u u=[y′y],u′=[y′′y′]=[−b1−k0]u