错排公式的推导和应用

问题：有8个信封，8封信，若是每一封信都装错，则有多少种情况？
形如以上问题的推导，便是错排问题。
错排问题是组合数学发展史上的一个重要问题，错排数也是一项重要的数。
令$a_k(1<k<1)$是$n(n\in N)$的一个错排，如果每个元素都不在其对应下标的位置上，即$a_k\ne k$，那么这种排列称为错位排列，或错排、重排（Derangement）。
而用以解决错排问题的公式便是错排公式。
推导方式有两种：

1. 容斥原理
2. 递推

递推求错排公式

设 $D_n$ 为 $n$ 个元素的错排数，则我们可以考虑两种情况：

1. 前 $n-1$ 个元素皆放错，则第 $n$ 个元素只需要和前面任意一个元素交换即可，即 $D_{n-1}$ 种可能
2. 有一个元素放对，剩下的全部放错，则第 $n$ 个元素只需要和放对的元素交换即可，即 $D_{n-2}$ 种可能
   所以对于 $D_n$ 都有 $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$
   特殊的， $D_1=0,D_2=1$

得到这个递推式之后，我们进一步进行推导：

为了运算的方便，我们设 $D_n=n!\times N_n$

则有:$n!\ast N_n=(n-1)\ast (n-2)!\ast N_{n-2}+(n-1)\ast (n-1)!\ast N_{n-1}$

两边同时除$(n-1)!$ ,可得： $n\ast N_n=N_{n-2}+(n-1)\ast N_{n-1}$

移项： $N_n-N_{n-1}=(N_{n-2}-N_{n-1})/n=-(1/n)(N_{n-1}-N_{n-2})$

错项相消得： $N_n-N_1=1/2!-1/3!+1/4!-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +(-1{)}^{n-1}\frac{1}{(n-1)!}+(-1{)}^n\frac{1}{(n)!}$

由于$N(1)=0，N(2)=1$, 所以$N_n=N_n-N_1=1/2!-1/3!+1/4!-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +(-1{)}^{n-1}\frac{1}{(n-1)!}+(-1{)}^n\frac{1}{n!}$

于是可以得到错排公式为:

$D_n=n!\ast (1/2!-1/3!+1/4!-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +(-1{)}^{n-1}\frac{1}{(n-1)!}+(-1{)}^n\frac{1}{(n)!})=n!({\sum }_{i=1}^n(-1{)}^i\frac{1}{i!})$

这样，我们就通过递推得到了两个关于错排问题的公式。

容斥原理求错排公式

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理
定义 $|A|$ 为集合 $A$ 中的元素个数,则：
$|{\bigcup }_{i=1}^n{A}_i|={\sum }_{k=1}^n(-1{)}^{k-1}{\sum }_{i=1(1\le i_1\le i_2......\le i_k\le n}^n|A_{i1}\cap A_{i2}\cap A_{i3}......\cap A_{ik}|$

所以我们可以很容易的得到:
错排个数=全排个数-不是错排的个数
全排个数很显然为为 $n!$ ， 而不是错排的个数我们可以以以下方法进行计算：

回到不是错排的定义，只要有一个数按照顺序排列，那么这个排列就不是错排。

那么我们可以先定义集合 $P_1$ 的元素是所有以 1 为开头的排列，定义集合 $P_2$ 的元素是所有第二个位置是 2 的排列，以此类推，定义集合 $P_n$ 的元素是所有第n位置为 $n$ 的排列。举例来说， $P_1$ 中的元素可以是 $123\mathrm{4...}n$ ,只要保证第一位为1就行。

很显然 $P_1\cup P_2\cup ...\cup P_n$ 这个集合包括了所有的不是错排的排列。设错排的通项公式为 $D_n$ ,那么 $D_n=n!-|P_1\cup P_2\cup ...\cup P_n|$。将其展开 $$\begin{gathered} D_n=n!-|P_1\cup P_2\cup ...\cup P_n| \\ =n!-{\sum }_{i=1}^n|P_i|+{\sum }_{1\le i<j\le n}|P_i\cap P_j|-{\sum }_{1\le i<j<k\le n}|P_i\cap P_j\cap P_k|... \end{gathered}$$

我们来逐项分析，先看第二项 ${\sum }_{i=1}^n|P_i|$。首先 $|P_1|$ 应该是多少？按照前面的定义，只要第一项是1的排列都是 $P_1$ 的元素。也就是说剩下的 $n-1$ 位随便排列。那么很显然，$|P_1|=(n-1)!$ 。以此类推，对于任意的 $i$ ， $|P_i|=(n-1)!$ 。那么第二项 ${\sum }_{i=1}^n|P_i|=n\times (n-1)!=\frac{n!}{1!}$ 。

往后类推：
$$\begin{gathered} {\sum }_{1\le i<j<k\le n}|P_i\cap P_j\cap P_k|=\frac{n!}{3!} \\ {\sum }_{1\le i<j<k<l\le n}|P_i\cap P_j\cap P_k\cap P_l|=\frac{n!}{4!} \\ {\sum }_{1\le i<j<k<l<m\le n}|P_i\cap P_j\cap P_k\cap P_l\cap P_m|=\frac{n!}{5!} \\ \cdots \end{gathered}$$

化简得：
$D_n=n!({\sum }_{i=1}^n(-1{)}^i\frac{1}{i!})$