【洛谷 P3853】[TJOI2007] 路标设置 题解（二分答案+递归）

[TJOI2007] 路标设置

题目背景

B 市和 T 市之间有一条长长的高速公路，这条公路的某些地方设有路标，但是大家都感觉路标设得太少了，相邻两个路标之间往往隔着相当长的一段距离。为了便于研究这个问题，我们把公路上相邻路标的最大距离定义为该公路的“空旷指数”。

题目描述

现在政府决定在公路上增设一些路标，使得公路的“空旷指数”最小。他们请求你设计一个程序计算能达到的最小值是多少。请注意，公路的起点和终点保证已设有路标，公路的长度为整数，并且原有路标和新设路标都必须距起点整数个单位距离。

输入格式

第 $1$ 行包括三个数 $L,N,K$，分别表示公路的长度，原有路标的数量，以及最多可增设的路标数量。

第 $2$ 行包括递增排列的 $N$ 个整数，分别表示原有的 $N$ 个路标的位置。路标的位置用距起点的距离表示，且一定位于区间 $[0,L]$ 内。

输出格式

输出 $1$ 行，包含一个整数，表示增设路标后能达到的最小“空旷指数”值。

样例 #1

样例输入 #1

101 2 1
0 101

样例输出 #1

51

提示

公路原来只在起点和终点处有两个路标，现在允许新增一个路标，应该把新路标设在距起点 $50$ 或 $51$ 个单位距离处，这样能达到最小的空旷指数 $51$。

$50\%$ 的数据中，$2\le N\le 100$，$0\le K\le 100$。

$100\%$ 的数据中，$2\le N\le 100000$, $0\le K\le 100000$。

$100\%$ 的数据中，$0<L\le 10000000$。

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思路

check函数用于判断给定的距离x是否满足增设的新路标数大于k。函数中，prev表示上一个路标的位置，cnt表示已经增设的路标数。函数遍历数组arr，计算相邻路标之间的距离d。如果d大于x，则需要增设新路标。如果x大于d，则prev需要增加x-d的距离，并将i增加1。否则，prev直接增加x的距离。最后，如果增设的路标数cnt大于k，则返回true，否则返回false。

partition函数用于进行二分查找。函数接受两个参数l和r，表示二分查找的范围。如果l大于r，则说明已经找到了满足条件的最大距离，输出l并返回。否则，计算mid的值，并调用check函数判断mid是否满足条件。如果满足条件，则说明距离偏小，递归调用partition函数，将mid+1作为l，r不变。如果不满足条件，则说明距离偏大，递归调用partition函数，将l不变，mid-1作为r。

注意：在check函数中，如果x为0的话，说明每隔0个单位的距离就放置一个路标，这样相当于放置了无数个路标，进入死循环，导致测试点Subtask #1报TLE。进入循环前需要判断x是否为0，如果为0，则相当于放置了无数个路标，视为cnt > k，直接返回true。

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AC代码

#include 
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e6 + 7;

// 公路长度，原路标数，最大新路标数
int len, n, k;
int arr[N];

bool check(int x) {
	int prev = arr[1];
	int cnt = 0;
	if (!x) {
		// 防死循环
		return 1;
	}
	for (int i = 2; i <= n;) {
		int d = arr[i] - prev;
		if (d > x) {
			// 增设路标
			if (x > d) {
				prev += x - d;
				i++;
			} else {
				prev += x;
			}
			cnt++;
		} else {
			prev = arr[i];
			i++;
		}
	}
	// cout << x << " " << cnt << endl;
	return cnt > k;
}

void partition(int l, int r) {
	if (l > r) {
		cout << l << endl;
		return;
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	if (check(mid)) {
		// 距离偏小
		partition(mid + 1, r);
	} else {
		// 距离偏大
		partition(l, mid - 1);
	}
}

int main() {
	cin >> len >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> arr[i];
	}
	partition(0, len);
	return 0;
}