自控原理学习笔记-反馈控制系统的动态模型（3）-开环、闭环特征模型

自控原理学习笔记
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第一章——反馈控制系统的动态模型
第二章——控制系统稳定性分析
第三章——连续时间系统性能分析
第四章——自动控制系统校正与综合
第五章——线性离散系统

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1.闭环系统

1.1 反馈控制系统的抽象模型

以单位负反馈为例，其中R（s）表示输入信号，D（s）表示负载扰动信号，N（s）表示测量噪声信号，Y（s）表示测量输出，X(s)表示过程输出，E（s）表示误差信号，U（s）表示控制信号，V（s）表示过程输入。C（s）为控制器的传递函数，P（s）为被控对象的传递函数。

令$W=[RDN{]}^T$为系统外部输入， U为控制信号，Y为系统的测量输出，
$Z=[EVX{]}^T$为系统输出.则可将上图模型抽象为如下形式

1.2闭环系统的传递函数

该传递函数可以写成如下矩阵形式：

• 若九个函数都存在，则系统良定

• Δ为系统的特征多项式：
  $$\begin{gathered} \Delta =\frac{1}{1+PC} \\ Y=\frac{(PCR+PD+N)}{\Delta } \end{gathered}$$
  若希望系统输出几乎跟踪指令变化，并且不受扰动影响，则需要增大系统的开环增益。
  $$PC\gg 1$$

1.3 灵敏度函数

• 定义：
  $$S=\frac{\mathrm{d}T/T}{\mathrm{d}P/P}=\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}P}\ast \frac{P}{T}$$
  闭环传递函数：
  $$T=\frac{CP}{1+CP}$$

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}P}=\frac{C(1+CP)-CP\ast C}{(1+CP{)}^2}=\frac{C}{(1+CP{)}^2} \\ S=\frac{1}{1+CP} \end{gathered}$$

又因为S+T=1,所以又定义T为反馈系统的余灵敏度函数。

• 作用：判断模型误差对控制系统的影响。

2.反馈系统的开环特征模型

2.1 开环特征：

• 开环特征函数：L（s）=P（s）* C(s)
• 环路增益：$L_1(s)=-P(s)\ast C(s)$

2.2 开环传递函数两个标准式：

• K为开环增益-主导稳定误差；
  $$K=s^{\vartheta }L(s){|}_{s=0}$$

• K_1为开环暂态增益-主导暂态性能

• 对于单位反馈系统，开环增益K_1=闭环系统暂态增益K_t

• 开环增益和开环暂态增益关系如下：

  

• matlab画零极点图例子：

  num= [1 1.41 1];
  den=conv([1 1.22 0],[1.25 2 2]);
  L=tf(num,den);
  T=feedback(L,1,-1)
  [z,P,k1]=tf2zp(num,den)
  pzmap(T);