一道简单的积分题目

题目如下图：

解法1：

解法2：

解法3：

$$\begin{gathered} 错误做法： \\ 在x\in (0,\infty )上有\ln x<x，令f(x)=\frac{\ln x}{1+x^2}，g(x)＝\frac{x}{1+x^2} \\ \therefore f(x)<g(x)，而又{\int }_0^{+\infty }\frac{x}{1+x^2}dx= \\ \frac{1}{2}{\int }_0^{+\infty }\frac{1}{1+x^2}d(1+x^2)= \\ \frac{1}{2}\ln (1+x^2){|}_0^{+\infty }=+\infty \end{gathered}$$