【原创】关于导数定义的学习与思考

最近在思考导数的定义，这一思考不要紧，脑子更混乱了，一下子冒出很多问题，比如：

> 如果导数是函数图像的切线的斜率，那这个斜率又是怎么来的呢？

> 导数可以由极限定义求得，那为什么还要专门研究导数，直接研究极限不就行了？

> 折线的拐点处有没有导数？

> 导数究竟是变化率、斜率还是极限值？

以上问题我想了半天，在知乎上找到一篇文章，读完之后豁然开朗，在些记录一二。引用框里是我的思考，外面是作者的原文。在此感谢原文作者齐昱的分享。

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导数的定义，通俗的讲，很简单，是曲线的切线的斜率

问题来了，什么是切线？

圆的切线我们都知道，垂直于半径就行了。一般的曲线呢？我们无法定义出一个类似“半径”的东西，然后做垂直。要知道，曲率半径是由导数定义的啊。先有了导数才有了曲率半径这种东西。

Finger点评：非常同意，我之前也是想了很久，不明白怎么能平白无故地给一个曲线做出切线呢？

于是我们回到最原始的“切线”的定义。

曲线上两个点确定一条割线。当两个点足够靠近的时候，割线变成了切线。

好，什么叫足够靠近？足够靠近的两个点，是一个点还是两个点？

如果是两个点，这还是割线。如果是一个点，那直线是怎么画出来的？

Finger点评：讲得非常好。试图用数形结合来说明导数的概念是有局限性的，总让人觉得心里不舒服。就说两个点很近，你又如何保证它们的切线斜率不会有很大变化吗？反正单看图形完全无法说服我相信两点的斜率相同。

于是人们陷入了困惑。然而，“极限”思想出现了。这时候人们从另一条路去考虑切线的问题。

人们慢慢接受了用ε-δ语言，去理解“无穷小”，“无限接近”等概念。

Finger点评：我上学那会（估计现在也一样），高数书上来就讲极限的ε-δ定义，练习了一大堆，也不说明这样做的目的。其实隐去了数学的含糊、挣扎和困惑，经过教科书的美化，数学内容全都变成了准确无误，威严无比的天条，实在让人觉得毫无人味。

这是人类数学史上伟大的进步。

我们可以理解成这样：

一条曲线的割线，总是有斜率的。

固定住一个点，让另一个点去靠近它，这时候斜率在发生变化。

但是这些斜率有一个特点，就是它们可以在两个点越来越近的时候，越来越接近一个数值。

诶，这个值，就叫做【导数】了。

当然我们可以严格的用ε-δ语言写出它，此处就略了吧。

原先我们想，严格的画出曲线的切线，测出它的斜率，把它叫做导数。

可是实际上，我们画不出切线，但是我们却先求出了导数。

可见极限，是个好东西啊。

【各位记着我这句话，切线是算出来的，不是画出来的。 】

Finger点评：解了我多年的困惑！！

导数定义完了。

......

芝诺悖论（飞矢不动悖论）：一个飞出去的箭，让时间停止，这时候箭有速度么？

按常识（当时的常识），没有。

下一时刻再让时间停止，箭有速度么？

还是没有。

每一时刻箭都没有速度，那它是怎么走的呢？

那岂不是飞矢不动？

牛顿对这个问题进行了深入的研究。研究的第一步，是问了自己这样的问题：

什么是一个物体在某一时刻的瞬间的速度？

这个时候牛顿用已经定义好的极限概念（当然是ε-δ语言），去定义瞬间的速度（后来叫做瞬时速度），发现这个定义意外的好用。

它定义了以前未定义的量，并且求出了值！

这时候芝诺悖论被攻破了。我能算出某一瞬间的速度值，你还能说它是静止的吗？

注意，极限是用ε-δ语言定义的，在这个定义中，并没有真正的去测一个凝固时间的速度。而是用极短时间的速度来逼近。

换句话说，瞬时速度不是测出来的，是算出来的。

用工具去测瞬时速度，就陷入了芝诺悖论。

Finger点评：这点我也感觉到了，在数学世界中，我们要理解概念必须严格按照数学的语言，不能把自然语言的概念外推到数学领域。就比如这个瞬时速度，以前我怎么也想不明白，到底多快算瞬时，用什么工具可以测出瞬时速度，现在明白了，其实它不是一个物理概念，而是一个数学概念。

这样就又引出一个问题，如果我不用线性逼近，而用一个量子态的工具去逼近，我又如何来“计算”瞬时速度呢？毕竟线性之外绝大多数是非线性，如果一个工具不能按理论预测去表现行为，是不是就不能称之为工具？

另外还我发现，不同职业从业者的气质还真是不一样。数学永远是数学家最可靠的朋友，一旦给出定义，就至死不渝。相比之下，真实世界就不可靠很多。数学家就是这样一群简单可爱的人，哈哈。似乎用这样的形容词来形容一群通常被认为是高智商的人，显得不太礼貌.....话又说回来，智商这个概念，也是值得商榷的。

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我是Finger，关注心理学、儿童教育，以及人类数字化生存，喜欢写作，旅游，如果你对我的文章感兴趣，欢迎留言与我交流。