回溯

回溯法（back tracking）（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

1 基本思想

从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。

2 一般步骤

定义一个解空间（子集树、排列树二选一）
适于搜索的方法组织解空间。
利用深度优先法搜索解空间。
利用剪枝函数避免移动到不可能产生解的子空间。

3 子集树模板

遍历子集树，时间复杂度 O(2^n)
如果解的长度是不固定的，那么解和元素顺序无关，即可以从中选择0个或多个。例如：子集，迷宫，...
如果解的长度是固定的，那么解和元素顺序有关，即每个元素有一个对应的状态。例如：子集，8皇后，...
解空间的个数是指数级别的，为2^n,可以用子集树来表示所有的解，适用于：幂集、子集和、0-1背包、装载、8皇后、迷宫、...

# 子集树递归模板
n = 4
#a = ['a','b','c','d']
a = [1, 2, 3, 4]
x = []   # 一个解（n元0-1数组）
X = []   # 一组解

# 冲突检测：无
def conflict(k):
    global n, x, X, a
    
    return False # 无冲突
    
# 一个例子
# 冲突检测：奇偶性相同，且和小于8的子集
def conflict2(k):
    global n, x, X, a
    
    if k==0:
        return False
    
    # 根据部分解，构造部分集
    s = [y[0] for y in filter(lambda s:s[1]!=0, zip(a[:k+1],x[:k+1]))]
    if len(s)==0:
        return False
    if 0 < sum(map(lambda y:y%2, s)) < len(s) or sum(s) >= 8: # 只比较 x[k] 与 x[k-1] 奇偶是否相间
        return True
    
    return False # 无冲突

    
# 子集树递归模板
def subsets(k): # 到达第k个元素
    global n, x, X
    
    if k >= n:  # 超出最尾的元素
        #print(x)
        X.append(x[:]) # 保存（一个解）
    else:
        for i in [1, 0]: # 遍历元素 a[k] 的两种选择状态:1-选择，0-不选
            x.append(i)
            if not conflict2(k): # 剪枝
                subsets(k+1)
            x.pop()              # 回溯


# 根据一个解x，构造一个子集
def get_a_subset(x):
    global a
    
    return [y[0] for y in filter(lambda s:s[1]!=0, zip(a,x))]

# 根据一组解X, 构造一组子集
def get_all_subset(X):
    return [get_a_subset(x) for x in X]

# 测试
subsets(0)

# 查看第3个解，及对应的子集
#print(X[2])
#print(get_a_subset(X[2]))

print(get_all_subset(X))

[[1, 3], [1], [2, 4], [2], [3], [4], []]

4 实例

4.1 八皇后问题

我们可以先将八皇后简化为四皇后，解题思路如下：

尝试先放置第一枚皇后，被涂黑的地方是不能放皇后

step1
第二行的皇后只能放在第三格或第四格，比方我们放第三格，则：

step2
可以看到再难以放下第三个皇后，此时我们就要用到回溯算法了。我们把第二个皇后更改位置，此时我们能放下第三枚皇后了。

step3
虽然是能放置第三个皇后，但是第四个皇后又无路可走了。返回上层调用（3号皇后），而3号也别无可去，继续回溯上层调用（2号），2号已然无路可去，继续回溯上层（1号），以此类推继续回溯。

这样就能在一步一步的测试中把八皇后的问题解决出来了

import random


# 随机模块
#state  保存的是已经确定皇后的列的坐标 [0,2]
#pos  表示新增加的皇后列的坐标 2

def conflict(state, pos):
    nextY = len(state)
    if pos in state: return True
    '''判断斜线'''
    for i in range(nextY):
        if nextY-pos == i-state[i]: return True
        if nextY+pos == i+state[i]: return True
         
    return False


def queens(num=8, state=()):
    # 生成器函数
    for pos in range(num):
        #print(state, pos)
        if not conflict(state, pos):
            #print(state,pos)
            if len(state) == num - 1:
                yield (pos,)  #生成器  range(10)
            else:
                for result in queens(num, state + (pos,)):
                    yield (pos,) + result


def queenprint(solution):
    # 打印函数
    def line(pos, length=len(solution)):
        #print('pos:',pos)
        return '. ' * (pos) + 'X ' + '. ' * (length - pos - 1)

    for pos in solution:
        print(line(pos))


# for solution in list(queens(8)):
#     print("aaaaa")
#     print(solution)
    

# print('  total number is ' + str(len(list(queens()))))
# print('  one of the range is:\n')
queenprint(random.choice(list(queens())))

X . . . . . . .
. . . . . . X .
. . . . X . . .
. . . . . . . X
. X . . . . . .
. . . X . . . .
. . . . . X . .
. . X . . . . .

这里随机给出了把皇后的一种答案

4.2 背包问题

4.2.1 背包问题的解题思路

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
这是最基础的背包问题，总的来说就是：选还是不选，这是个问题
相当于用s[i]表示放进背包的前i个物体的总体积，v[i]表示放进背包的前i个物体的总价值，只有两种情况：

第i件不放进去，这时背包内的物品体积为s[i-1]，背包的价值为v[i-1]
第i件放进去，这时背包内的物品体积为s[i]，背包的价值为v[i]

4.2.2 问题的解空间

用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个(最优)解。对于 n=3 时的 0/1 背包问题，可用一棵完全二叉树表示解空间，如图所示：

背包问题的解空间

1表示选取，0表示不选

4.2.3 代码实现

#bestV 最优的价值
bestV=0
#当前重量
curW=0
#当前价值
curV=0
#当价值最优的时候的，背包的物品列表
bestx=None
def backtrack(i):
    global bestV,curW,curV,x,bestx
    if i>=n:
        if bestV

 
  
  15
 [True, True, False, False, True] 
  
 总结 
 问题：
 八皇后中的queens()函数中没有用return，而使用的是yield，不太清楚这个函数是什么意思？
 答：yield和return的关系和区别，带yield的函数是一个生成器，而不是一个函数了，这个生成器有一个函数就是next函数，next就相当于“下一步”生成哪个数，这一次的next开始的地方是接着上一次的next停止的地方执行的，所以调用next的时候，生成器并不会从foo函数的开始执行，只是接着上一步停止的地方开始，然后遇到yield后，return出要生成的数，此步就结束。
    需要详细了解yield()函数的可以访问以下链接：
 python中yield的用法详解——最简单，最清晰的解释

数据结构day6

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