高数 07.08 二重积分的计算

§第七章第八节二重积分的计算

一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分

一、利用直角坐标计算二重积分

由曲顶柱体体积的计算可知,当被积函数f(x,y)≥0且在D上连续时,若D为X−型区域
D:{φ1(x)≤y≤φ2(x)a≤x≤b
则∬Df(x,y)dxdy=∫ba[∫φ2(x)φ1(x)f(x,y)dy]dx
若D为Y−型区域
D:{ψ1(y)≤x≤ψ2(x)c≤y≤d
则∬Df(x,y)dxdy=∫dc[∫ψ2(y)ψ1(y)f(x,y)dx]dy

说明:(1)若积分区域即是X−型区域又是Y−型区域,则有：∬Df(x,y)dxdy=∫ba[∫φ2(x)φ1(x)f(x,y)dy]dx=∫dc[∫ψ2(y)ψ1(y)f(x,y)dx]dy为计算方便，可选择积分序,必要时还可以交换积分序.(2)若积分域复杂,可将它分成若干个X−型域或Y−型域.

例1.计算I=∬Dxydσ,其中D是直线y=1,x=2及y=x所围成的区域.
解:解法1.将D看作X−型区域,则D:{1≤y≤x1≤x≤2
I=∫21dx∫x1xydy=∫21[12xy2]x1=∫21[12x3−12x]dx=[18x4−14x2]21=98
解法1.将D看作Y−型区域,则D:{y≤x≤21≤y≤2
I=∫21dy∫2yxydx=∫21[12x2y|2y]dy=∫21[2y−12y3]dy=[y2−18y4]21=98

例2.计算∬Dxydσ,其中D是抛物线y2=x及直线y=x−2所围成的闭区域.
解:为计算简便,先对x后对y积分,则
D:{y2≤x≤y+2−1≤y≤2
∬Dxydσ=∫21dy∫y2y+2xydx=∫2−1[12x2y]y+2y2dy=∫2−1[12(y+2)2y−12y5]dy=∫2−1[12(−y5+y3+4y2+4y)]dy=12[−16y6+14y4+43y3+2y2]2−1=458

例3.计算∬Dsinxxdxdy,其中D是直线y=x,y=0,x=π所围成的闭区域.
解:
D:{0≤x≤π0≤y≤x
∬Dsinxxdxdy=∫π0dx∫x0sinxxdy=∫π0sinxx[y]x0dx=∫π0sinxxxdx=∫π0sinxdx=−[cosx]π0=2

例4.交换下列积分顺序I=∫20dx∫x220f(x,y)dy+∫22√2dx∫8−x2√0f(x,y)dy
解:y=1x2x2+y2=8交点(2,2)
原区域D1:⎧⎩⎨0≤x≤20≤y≤12x2
原区域D2:{2≤x≤22√0≤y≤8−x2−−−−−√
交换积分顺序，变为先对x积分，再对y积分
原区域D:{0≤y≤22y−−√≤x≤8−y2−−−−−√
I=∫20dy∫8−y2√2y√f(x,y)dx

二、利用极坐标计算二重积分

在极坐标系下,用同心圆r=常数及射线θ=常数,分划区域D为Δσk(k=1,2,⋯,n)则除包含边界点的小区域外,小区域的面积Δσk=12(rk+Δrk)2⋅Δθk−12r2k⋅Δθk=12[rk+(rk+Δrk)]Δrk⋅Δθk=rk¯Δrk⋅Δθk在Δσk内取点(rk¯,θk¯),对应有ξk=rk¯cosθk¯+rk¯sinθk¯limλ→0∑nk=1f(ξk,ηk)Δσk=limλ→0∑nk=1f(rk¯cosθk¯,rk¯sinθk¯)rk¯ΔrkΔθ即∬Df(x,y)dσ=∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
设D:{φ1(θ)≤r≤φ2(θ)α≤θ≤β则
∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫βαdθ∫φ2(θ)φ1(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr

特别,对D:{φ1(θ)≤r≤φ2(θ)0≤θ≤2π则
∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫2π0dθ∫φ(θ)0f(rcosθ,rsinθ)rdr

若f≡1,则可求得D的面积
σ=∬Ddσ=12∫2π0φ2(θ)dθ

思考:下列个图中域D分别与x,y轴相切于原点,试问θ的变化范围是什么?
(1)r=φ(θ)在一、二象限与x轴相切,θ∈[0,π]
(2)r=φ(θ)在一、四象限与y轴相切,θ∈[−π2,π2]

例5.计算∬De−x2−y2dxdy,其中D:x2+y2≤a2.
由于e−x2−y2的原函数不是初等函数,故无法用直角坐标系计算
解:在极坐标系下D:{0≤r≤a0≤θ≤2π
∬De−x2−y2dxdy=∬De−r2rdrdθ=∫2π0dθ∫a0e−r2rdr=∫2π0[−12e−r2]a0dθ=∫2π01−e−a22dθ=π(1−e−a2)

例6.求球体x2+y2+z2≤4a2被圆柱体x2+y2=2ax(a>0)所截得的(含在柱体内的)立体的体积.
解:设D:0≤r≤2acosθ,0≤θ≤π2
由对称性可知
V=4∬D4a2−r2−−−−−−−√rdrdθ=4∫π20dθ∫2acosθ04a2−r2−−−−−−−√rdr=323a3∫π20(1−sin3θ)dθ=323a3(π2−23)

内容小结
(1)二重积分化为累次积分的方法
直角坐标系情形:
若积分区域为:
D={(x,y)|a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x)}
则∬Df(x,y)dσ=∫badx∫y2(x)y1(x)f(x,y)dy

若积分区域为:
D={(x,y)|c≤y≤d,x1(y)≤x≤x2(y)}
则∬Df(x,y)dσ=∫dcdy∫x2(y)x1(y)f(x,y)dx

极坐标系情形：
若积分区域为
D={(r,θ)|α≤θ≤β,φ1(θ)≤r≤φ2(θ)}
则∬Df(x,y)dσ=∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫βαdθ∫φ2(θ)φ1(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr

(2)计算步骤及注意事项
先画出积分域
选择坐标系
确定积分序
写出积分限
计算要简便，充分利用对称性

练习
1.设f(x)∈C[0,1],且∫10f(x)dx=A,求I=∫10dx∫1xf(x)f(y)dy
解:交换积分顺序后,x,y互换I=∫10dx∫1xf(x)f(y)dy=∫10dx∫x0f(x)f(y)dy∴2I=∫10dx∫1xf(x)f(y)dy+∫10dy∫x0f(x)f(y)dy=∫10dx∫10f(x)f(y)dy=∫10f(x)dx∫10f(y)dy=A2I=A22

2.给定I=∫2a0dx∫2ax√2ax−x2√f(x,y)dy(a>0,改变积分次序
解:y=2ax−−−√⟹x=y22ay=2ax−x2−−−−−−−√⟹x=a±a2−y2−−−−−−√I=∫2a0dx∫2ax√2ax−x2√f(x,y)dy=∫10dy∫a−a2−y2√y22f(x,y)dx+∫a0dy∫2aa+a2−y2√f(x,y)dx+∫2aa∫2ay22af(x,y)dx