二重积分的对称性技巧

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对称性

当被积函数较为复杂，或者由一个简单项和一个极其复杂的项组合成时，直接积分非常麻烦，此时可以观察积分区域D，巧妙利用D的对称性来抵消掉复杂的部分，从而简化计算

例题1

不难看出ln函数是一个奇函数，而x范围恰好是对称的，因此积分后这部分一定为0，则计算时可以直接舍弃右边的ln函数

例题2

将被积函数展开，得到项 4xy，同时发现区域D是一个以原点为圆心的圆，该项在一三象限为正，在二四象限为负，可以相互抵消

例题3

显然积分区域D是一个关于x轴对称的圆，因此项 xy 可以被抵消

同时由于积分区域是个圆，用直角坐标难以计算，因此改用极坐标