【洛谷 P3743】kotori的设备 题解（二分答案+递归）

kotori的设备

题目背景

kotori 有 $n$ 个可同时使用的设备。

题目描述

第 $i$ 个设备每秒消耗 $a_i$ 个单位能量。能量的使用是连续的，也就是说能量不是某时刻突然消耗的，而是匀速消耗。也就是说，对于任意实数，在 $k$ 秒内消耗的能量均为 $k\times a_i$ 单位。在开始的时候第 $i$ 个设备里存储着 $b_i$ 个单位能量。

同时 kotori 又有一个可以给任意一个设备充电的充电宝，每秒可以给接通的设备充能 $p$ 个单位，充能也是连续的，不再赘述。你可以在任意时间给任意一个设备充能，从一个设备切换到另一个设备的时间忽略不计。

kotori 想把这些设备一起使用，直到其中有设备能量降为 $0$。所以 kotori 想知道，在充电器的作用下，她最多能将这些设备一起使用多久。

输入格式

第一行给出两个整数 $n,p$。

接下来 $n$ 行，每行表示一个设备，给出两个整数，分别是这个设备的 $a_i$ 和 $b_i$。

输出格式

如果 kotori 可以无限使用这些设备，输出 $-1$。

否则输出 kotori 在其中一个设备能量降为 $0$ 之前最多能使用多久。

设你的答案为 $a$，标准答案为 $b$，只有当 $a,b$ 满足
$\frac{|a-b|}{\max (1,b)}\le 10^{-4}$ 的时候，你能得到本测试点的满分。

样例 #1

样例输入 #1

2 1
2 2
2 1000

样例输出 #1

2.0000000000

样例 #2

样例输入 #2

1 100
1 1

样例输出 #2

-1

样例 #3

样例输入 #3

3 5
4 3
5 2
6 1

样例输出 #3

0.5000000000

提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 100000$，$1\le p\le 100000$，$1\le a_i,b_i\le 100000$。

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思路

在main()函数中，通过循环读取输入，并计算设备的总耗能速度sum。如果总耗能速度sum小于等于设备充电速度p，则输出-1，表示无法满足设备的需求。调用partition()函数，传入初始区间[0, 1e10]，并输出最小的满足所有需求的时间l。

不妨假设电池是有容量的，容量为时间x和电池放电速度p的乘积。通过check函数判断在时间x内电池电量剩余情况。如果电池还有剩余电量，那么时间太短，需要增加时间；如果电池没有剩余电量，那么时间太长，需要减少时间。

在递归函数partition()中，首先判断当前区间的长度是否满足终止条件，即r - l <= 1e-5。如果满足条件，则输出当前的l值，并返回。通过check函数判断在时间x内电池电量剩余情况。如果时间太长，需要将区间的右边界r更新为mid，并递归调用partition()函数。如果时间太短，需要将区间的左边界l更新为mid，并递归调用partition()函数。

注意：精度不用控制太严格，否则会超时。只要当 $a,b$ 满足
$\frac{|a-b|}{\max (1,b)}\le 10^{-4}$ 的时候，就能得到本测试点的满分。

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AC代码

#include 
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e6 + 7;

// 设备
int n;
// 电池充电速度
double p;
// 每秒耗能，存储能量
double a[N], b[N];

bool check(double x) {
	double bat = p * x;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (a[i] * x <= b[i]) {
			// 自身电量够用
			continue;
		}
		bat -= a[i] * x - b[i];
	}
	// cout << x << " " << bat << endl;
	return bat < 0;
}

void partition(double l, double r) {
	if (r - l <= 1e-5) {
		cout << l << endl;
		return;
	}
	double mid = (l + r) / 2;
	if (check(mid)) {
		// 时间太长
		r = mid;
		partition(l, mid);
	} else {
		// 时间太短
		partition(mid, r);
	}
}

int main() {
	cin >> n >> p;
	double sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i] >> b[i];
		sum += a[i];
	}
	if (sum <= p) {
		// 总放电速度不高于充电速度
		cout << -1 << endl;
		return 0;
	}
	partition(0, 1e10);
	return 0;
}

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