MAT之prim算法
prim算法
边赋以权值的图称为网或带权图，带权图的生成树也是带权的，生成树T各边的权值总和称为该树的权。
最小生成树（MST）：权值最小的生成树。
生成树和最小生成树的应用：要连通n个城市需要n－1条边线路。可以把边上的权值解释为线路的造价。则最小生成树表示使其造价最小的生成树。
构造网的最小生成树必须解决下面两个问题：
1、尽可能选取权值小的边，但不能构成回路；
2、选取n－1条恰当的边以连通n个顶点；
MST性质：假设G＝(V,E)是一个连通网，U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。
1.prim算法
基本思想：假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}开始。重复执行下列操作：
在所有u∈U，v∈V－U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止。
此时，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。
Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。
注意：prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边得数目无关，而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)跟边的数目有关，适合稀疏图。
看了上面一大段文字是不是感觉有点晕啊，为了更好理解我在这里举一个例子，示例如下：
（1）图中有6个顶点v1-v6，每条边的边权值都在图上；在进行prim算法时，我先随意选择一个顶点作为起始点，当然我们一般选择v1作为起始点，好，现在我们设U集合为当前所找到最小生成树里面的顶点，TE集合为所找到的边，现在状态如下：
U={v1}； TE={}；
（2）现在查找一个顶点在U集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。
通过图中我们可以看到边v1-v3的权值最小为1，那么将v3加入到U集合，（v1，v3）加入到TE，状态如下：
U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；
（3）继续寻找，现在状态为U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；在与红线相交的边上查找最小值。
我们可以找到最小的权值为（v3，v6）=4，那么我们将v6加入到U集合，并将最小边加入到TE集合，那么加入后状态如下：
U={v1，v3，v6}； TE={（v1，v3），（v3，v6）}； 如此循环一下直到找到所有顶点为止。
（4）下图像我们展示了全部的查找过程：
2.prim算法程序设计
（1）由于最小生成树包含每个顶点，那么顶点的选中与否就可以直接用一个数组来标记used[max_vertexes];（我们这里直接使用程序代码中的变量定义，这样也易于理解）；当选中一个数组的时候那么就标记，现在就有一个问题，怎么来选择最小权值边，注意这里最小权值边是有限制的，边的一个顶点一定在已选顶点中，另一个顶点当然就是在未选顶点集合中了。我最初的一个想法就是穷搜了，就是在一个集合中选择一个顶点，来查找到另一个集合中的最小值，这样虽然很易于理解，但是很明显效率不是很高，在严蔚敏的《数据结构》上提供了一种比较好的方法来解决：设置两个辅助数组lowcost[max_vertexes]和closeset[max_vertexes]，lowcost[max_vertexes]数组记录从U到V－U具有最小代价的边。对于每个顶点v∈V－U,closedge[v], closeset[max_vertexes]记录了该边依附的在U中的顶点。
注意：我们在考虑两个顶点无关联的时候设为一个infinity 1000000最大值。
说了这么多，感觉有点罗嗦，还是发扬原来的风格举一个例子来说明，示例如下：
过程如下表：顶点标号都比图中的小1，比如v1为0，v2为1，这里首先选择v1点。
| Lowcost[0] |
Lowcost[1] |
Lowcost[2] |
Lowcost[3] |
Lowcost[4] |
Lowcost[5] |
U |
V-U |
|
| closeset |
v1，infinity |
v1，6 |
v1，1 |
v1，5 |
v1，infinity |
v1，infinity |
v1 |
v1,v2,v3,v4,v5,v6 |
从这个表格可以看到依附到v1顶点的v3的Lowcost最小为1，那么选择v3，选择了之后我们必须要更新Lowcost数组的值，因为记录从U到V－U具有最小代价的边，加入之后就会改变。这里更新Lowcost和更新closeset数组可能有点难理解，
for (k=1;k<vcount;k++)
if (!used[k]&&(G[j][k]<lowcost[k]))
{ lowcost[k]=G[j][k];
closeset[k]=j; }
}
j为我们已经选出来的顶点，如果G[j][k]<lowcost[k]，则意味着最小权值边发生变化，更新该顶点的最小lowcost权值，依附的顶点肯定就是刚刚选出的顶点j，closeset[k]=j。
| Lowcost[0] |
Lowcost[1] |
Lowcost[2] |
Lowcost[3] |
Lowcost[4] |
Lowcost[5] |
U |
V-U |
|
| closeset |
v1，infinity |
v1，6 |
v1，1 |
v1，5 |
v3，6 |
v3，4 |
v1，v3 |
v1,v2,v4,v5,v6 |
这样一直选择下去直到选出所有的顶点。
（2）上面把查找最小权值的边结束了，但是这里有一个问题，就是我们没有存储找到的边，如果要求你输出找到的边那么这个程序就需要改进了，我们刚开始的时候选取的是v1作为第一个选择的顶点，那我们设置一个father[]数组来记录每个节点的父节点，当然v1的父节点肯定没有，那么我们设置一个结束标志为-1，每次找到一个新的节点就将它的父节点设置为他依附的节点，这样就可以准确的记录边得存储了。
| 语法：prim(Graph G,int vcount,int father[]); |
|
| 参数： |
|
| G： |
图，用邻接矩阵表示 |
| vcount： |
表示图的顶点个数 |
| father[]： |
用来记录每个节点的父节点 |
| 返回值： |
null |
| 注意： |
|
|
|
常数max_vertexes为图最大节点数 |
|
|
常数infinity为无穷大 |
| 数组存储从0开始 |
|
| 如果下面的源程序有错请参照测试程序。 |
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| 源程序： |
|
|
|
#define infinity 1000000 int closeset[max_vertexes],used[max_vertexes]; int min; /* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */ /* 标记所有节点的依附点皆为默认的1号节点 */
/* vcount个节点至少需要vcount-1条边构成最小生成树 */ min = infinity; /* 找满足条件的最小权值边的节点k */ /* 边权值较小且不在生成树中 */ { min = lowcost[k]; j=k; } /* 发现更小的权值 */ lowcost[k]=G[j][k];/*更新最小权值*/ } |
测试程序：
1 测试用例： 2 3 1 2 6 4 5 1 3 1 6 7 1 4 5 8 9 2 3 5 10 11 2 5 3 12 13 3 4 5 14 15 3 5 6 16 17 3 6 4 18 19 5 6 6 20 21 4 6 2
1 #include <stdio.h> 2 3 #include <string.h> 4 5 #include <stdlib.h> 6 7 8 9 #define infinity 1000000 10 11 #define max_vertexes 6 12 13 typedef int Graph[max_vertexes][max_vertexes]; 14 15 void prim(Graph G,int vcount,int father[]) 16 17 { 18 19 int i,j,k; 20 21 int lowcost[max_vertexes]; 22 23 int closeset[max_vertexes],used[max_vertexes]; 24 25 int min; 26 27 for (i=0;i<vcount;i++) 28 29 { 30 31 /* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */ 32 33 lowcost[i]=G[0][i]; 34 35 /* 标记所有节点的依附点皆为默认的1号节点 */ 36 37 closeset[i]=0; 38 39 used[i]=0; 40 41 father[i]=-1; 42 43 } 44 45 used[0]=1; /*第一个节点是在s集合里的*/ 46 47 /* vcount个节点至少需要vcount-1条边构成最小生成树 */ 48 49 for (i=1;i<=vcount-1;i++) 50 51 { 52 53 j=0; 54 55 min = infinity; 56 57 /* 找满足条件的最小权值边的节点k */ 58 59 for (k=1;k<vcount;k++) 60 61 /* 边权值较小且不在生成树中 */ 62 63 if ((!used[k])&&(lowcost[k]<min)) 64 65 { 66 67 min = lowcost[k]; 68 69 j=k; 70 71 } 72 73 father[j]=closeset[j]; 74 75 printf("%d %d\n",j+1,closeset[j]+1);//打印边 76 77 used[j]=1;;//把第j个顶点并入了U中 78 79 for (k=1;k<vcount;k++) 80 81 /* 发现更小的权值 */ 82 83 if (!used[k]&&(G[j][k]<lowcost[k])) 84 85 { 86 87 lowcost[k]=G[j][k];/*更新最小权值*/ 88 89 closeset[k]=j;;/*记录新的依附点*/ 90 91 } 92 93 } 94 95 } 96 97 98 99 int main() 100 101 { 102 103 FILE *fr; 104 105 int i,j,weight; 106 107 Graph G; 108 109 int fatheer[max_vertexes]; 110 111 for(i=0; i<max_vertexes; i++) 112 113 for(j=0; j<max_vertexes; j++) 114 115 G[i][j] = infinity; 116 117 fr = fopen("prim.txt","r"); 118 119 if(!fr) 120 121 { 122 123 printf("fopen failed\n"); 124 125 exit(1); 126 127 } 128 129 while(fscanf(fr,"%d%d%d", &i, &j, &weight) != EOF) 130 131 { 132 133 G[i-1][j-1] = weight; 134 135 G[j-1][i-1] = weight; 136 137 } 138 139 140 141 prim(G,max_vertexes,fatheer); 142 143 return 0; 144 145 146 147 } 148 149 150 151 程序结果： 152 153 3 1 154 155 6 3 156 157 4 6 158 159 2 3 160 161 5 2