AM@三重积分@直角坐标系上的计算

三重积分

• 定积分和二重积分作为和极限的概念,可以推广到三重积分
• 三重积分的定义和二重积分类似,但是积分区域从平面闭区域$D$,变为空间闭区域$\Omega$
• 同时,三重积分会更加抽象,更加偏形式化地推广自定积分和二重积分
• 设$f(x,y,z)$是有界闭区间$\Omega$上的有界函数,将$\Omega$任意划分为$n$个空间小闭区域:$\Delta v_1,\cdots ,\Delta v_n$其中$\Delta v_i$表示第$i$个小闭区域,也表示它的体积
• 在每个$\Delta v_i$上任意取一点$({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$,这个点近似代表这个小区域(把它代入函数$f(x,y,z)$求得的值近似表示这个小区域整体的值,例如密度)
  • 作乘积$f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i$,$(i=1,2,\cdots ,n)$,并作和${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i$
  • 令$\lambda =\max \{\Delta v_1,\cdots ,\Delta v_n\}$,若$\lambda \to 0$,上述和式的极限总是存在,且与小区间分法和代表点的取法无关
  • 那么称$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i$为函数$f(x,y,z)$在闭区域$\Omega$上的三重积分,记为
    • $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i$(1)
    • 其中$f(x,y,z)$称为被积函数,$\mathrm{d}v$称为体积元素,$\Omega$称为积分区域(空间区域)
• 被积表达式从而一元函数定积分,到二重积分,三重积分,分别为
  • $f(x)\mathrm{d}x$,$f(x,y)\mathrm{d}\sigma$,$f(x,y,z)\mathrm{d}v$
  • 以直角坐标系为例,分别近似小曲边梯形面积,小曲顶柱体的体积,三元函数就抽象得多,更不容易从几何的角度描述,但仍然延续这种形式
• $f(x,y,z)\mathrm{d}v$可以和某些物理意义对应,例如体密度,体积和质量
  • 若$f(x,y,z)$表示物体在点$(x,y,z)$处的密度,$\Omega$是该物体所占的空间闭区域,$f(x,y,z)$在$\Omega$上连续,那么$f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i$是该物体的质量$m$的**近似值,**这个和当$\lambda \to 0$时的极限就是该物体的质量$m$
  • $m$=$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v$(2)
  • 三重积分的此种抽象便于研究和解决此类问题

三重积分的计算

• 三重积分的基本计算方法和二重积分类似,都是累次积分,即,三重积分化为$3$次积分来计算
• 具体可以分为先一后二和先二后一法
• 在不同的坐标系中,计算公式有不同的表现形式
  • 例如直角坐标系中,体积元素为$\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$(2-1)
  • 在柱坐标和球坐标又有不同形式

先一后二

• 这里介绍先一后二(先单后重)的方法

• 简单的空间闭区间一般地可以描述为$\Omega$=$\{(x,y,z)\mid z_1(x,y)⩽z⩽z_2(x,y),(x,y)\in D_{xy}\}$

  • 例如求球面是一类简单空间闭区域
  • 这类简单空间区域满足:平行于坐标轴($z$轴)且穿过$\Omega$内部的直线和$\Omega$的边界曲面$S$相交不多于2点
  • 把闭区域$\Omega$投影到$xOy$面上,得到一个平面闭区域$D_{xy}$

• 构造柱面

  • 以$D_{xy}$的边界为准线作母线平行于$z$轴的柱面,
  • 这柱面与曲面$S$的交线从$S$中分出的上下两部分的部分曲面,分别表示为
    • $S_1:z=z_1(x,y)$
    • $S_2:z=z_2(x,y)$
  • 其中$z_1(x,y),z_2(x,y)$都是$D_{xy}$上的连续函数,且$z_1(x,y)⩽z_2(x,y)$
  • 过$D_{xy}$内某一点$P_0(x_0,y_0)$作平行于$z$轴的直线,此直线通过曲面$S_1$穿入$\Omega$内,然后通过曲面$S_2$穿出$\Omega$外,穿入点和穿出点的竖坐标分别为$z_1(x_0,y_0),z_2(x_0,y_0)$,这一步的意图在于看出$z$的区间上的积分时要把$x,y$视为常数,分别计算$z_1,z_2$
  • 将点$P_0$一般化,过$D_{xy}$内任意一点$P(x,y)$作平行于$z$轴的直线,此直线过$\Omega$内部,穿入点和穿出点的竖坐标分别为$z_1(x,y),z_2(x,y)$
  • 这时,积分区域$\Omega$可表示为$\{(x,y,z)\mid z_1(x,y)⩽z⩽z_2(x,y),(x,y)\in D_{xy}\}$
    • 该表示分别给出$z$的范围,以及$(x,y)$的平面区域范围,但不是$x,y$的范围分别给出

• 先将$x,y$看做定值,将$f(x,y,z)$只看做$z$的函数,在$z$的区间$[z_1(x,y),z_2(x,y)]$上对$z$积分(定积分)

  • 并且积分结果是$x,y$的函数($z$在此次积分被消去了),记为$F(x,y)$,即$F(x,y)$=${\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$(3)

• 然后再计算$F(x,y)$在平面闭区域$D_{xy}$上的二重积分:$\underset{D_{xy}}{\iint }F(x,y)\mathrm{d}\sigma$=$\underset{D_{xy}}{\iint }[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z]\mathrm{d}\sigma$(4)

• 假设平面闭区域$D_{xy}$=$\{(x,y)\mid y_1(x)⩽y⩽y_2(x),a⩽x⩽b\}$

• 则式(4)化为二次积分,得到三重积分的计算公式(5)

  • $$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}\mathrm{d}y{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$$

  • $z,y,x$的积分区间都是标量区间,依次对以下区间进行积分

    • $z\in [z_1(x,y),z_2(x,y)]$
    • $y\in [y_1(x),y_2(x)]$
    • $x\in [a,b]$

  • 对于累次积分,每次积分都是对几个积分变量中的一个做定积分,并且会消去一个积分变量,降低原积分的重数

• 公式(4)将三重积分化为2次积分

  • 即分解为一个二重积分和一个定积分
    • 先定积分,后二重积分

• 公式(5)把三重积分化为三次定积分:先对$z$,次对$y$,最后对$x$积分的三次积分

投影方式

• 上述情形将$\Omega$投影到$xOy$上
• 若平行于$x$轴或$y$轴且穿过$\Omega$内部的直线和$\Omega$的边界曲面$S$相交不多于2点,则也可以把闭区域$\Omega$投影到$yOz$面上或$xOz$面上
• 可见三重积分的积分顺序和二重积分类似,可能有不同的选择

与边界曲面的交点多于2个的情形

• 和二重积分的积分区域非$X$,非$Y$型时采取的方法类似,就是通过积分区域分割,使得各个部分区域是满足交点不多于2点的要求,逐部分作三重积分再求和

先二后一

• 某些情形下,使用先一后二的方法不方便计算,二可以考虑用先二后一法
• 即先二重积分后定积分
  • 空间闭区域$\Omega$=$\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D_z,c_1⩽z⩽c_2\}$
    • $(x,y)\in D_z$是含$x,y$的式子的不等式或等式
    • $z$的取值范围是积分区域$\Omega$在$z$轴上的投影(空间区域不仅可以做平面的投影,还可以做直线上的投影)
    • 方法是令$x,y=0$,即可解出$z$的范围
  • 公式为$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v$=${\int }_{c_1}^{c_2}\mathrm{d}z\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$(6)
  • 其中$D_z$是竖坐标为$z$的平面,用垂直于$z$轴的平面$z=z$截闭区域$\Omega$所得到的一个平面闭区域

应用

例1

• 由曲线$z=\sqrt{2-x^2-y^2}$和$z=x^2+y^2$所围成的区域$\Omega$
  • 曲线1:$z^2$=$2-x^2-y^2$,即$x^2+y^2+z^2=2$,是一个球心位于坐标原点的球面的一部分,因为$z⩾0$,所以这部分就是$z=0$上方的半球面
  • 曲线2:是一个旋转抛物面,可分别用三个坐标面截取可知
  • 两个曲面所围成的区间在$xOy$面上的投影可通过联立两直线消去$z$得到
    • 若直接降曲线1代入曲线2的左端,也就是说直接消去$z$,得到$2-x^2-y^2=(x^2+y^2{)}^2$
      • 这个方程虽然是投影曲线的方程,但并不容易看出积分区域,因为方程次数较高,尝试用换元法降次
      • 观察该式子,令$t=x^2+y^2$,从而$2-t$=$t^2$,可以解出$t=1,-2$,由于$t⩾0$,所以$t=1$
      • 观察曲线$2$,可得$t=z=x^2+y^2=1$,因此$D_{xy}$=$\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}$
    • 而应该将曲线2代入到曲线1:$z=\sqrt{2-(x^2+y^2)}$=$\sqrt{2-z}$,即$z^2=2-z$,取正根的$z=1$,即通过算出$z$的值来间接消去$z$;现在将$z=1$代入曲线1或2,都可得出$D_{xy}$=$\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}$

例1-1

• 由例1中的区域$\Omega$,计算$I$=$\underset{\Omega }{\iiint }z\mathrm{d}v$
  • $I$=$\underset{D_{xy}}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y{\int }_{x^2+y^2}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}z\mathrm{d}z$=$\frac{1}{2}\underset{x^2+y^2⩽1}{\iint }{z}^2{|}_{x^2+y^2}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\frac{1}{2}\underset{x^2+y^2⩽1}{\iint }(2-x^2-y^2-(x^2+y^2{)}^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
  • 该积分很适合用极坐标算积分区域表示为$r=1$,$I$=$\frac{1}{2}[{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^1(2-r^2-r^4)r\mathrm{d}r]$=$\frac{7\pi }{12}$

例2

• 计算三重积分$\underset{\Omega }{\iiint }x\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$,其中$\Omega$是三个坐标面和平面$x+2y+z=1$所围成的闭区域
  • 此处被积函数是$x$,很简单的一元函数
  • 空间闭区域$\Omega$图形分析:分别求得平面和坐标轴的交点:$A(1,0,0)$,$B(0,\frac{1}{2},0)$,$C(0,0,1)$
  • 将$\Omega$投影到平面$xOy$上,得投影区域$D_{xy}$为三角形$OAB$,$D_{xy}$=$\{(x,y)\mid y\in [0,\frac{1-x}{2}],x\in [0,1]\}$
    • $xOy$平面上,直线$y=0,x=0$以及$x+2y=1$
  • 在$D_{xy}$内任意取点$(x,y)$,过此点做平行于$z$轴的直线,该直线过平面$z=0$穿入$\Omega$内,然后通过平面$z=1-x-2y$穿出$\Omega$外,第一次积分表示为${\int }_0^{1-x-2y}x\mathrm{d}z$,被积函数为$f(x,y,z)=x$
  • 再作$D_{xy}$在$x$轴的投影(OA),对$y$的区间做积分;在平面$xOy$上的OA对应的$x$的区间$[0,1]$内取任意一点,做平行于$y$轴的直线穿过$y=0,x+2y=1$,将边界曲线表示为$x$的函数:$y=0,y=\frac{1}{2}(1-x)$,第二次积分表示为${\int }_0^{\frac{1-x}{2}}\mathrm{d}y$,被积函数为第一次积分的结果
  • 最后对$x$的区间(OA)作积分,$x\in [0,1]$第三次积分表示为$f_0^1\mathrm{d}x$,被积函数为第二次积分的结果
  • $\underset{\Omega }{\iiint }x\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$=$f_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{\frac{1-x}{2}}\mathrm{d}y{\int }_0^{1-x-2y}x\mathrm{d}z$
    • 第一次积分:${\int }_0^{1-x-2y}x\mathrm{d}z$=$x{\int }_0^{1-x-2y}\mathrm{d}z$=$xz{|}_0^{1-x-2y}$=$x(1-x-2y)$
    • 第二次积分:${\int }_0^{\frac{1-x}{2}}x(1-x-2y)\mathrm{d}y$=$x[{\int }_0^{\frac{1-x}{2}}(1-x-2y)\mathrm{d}y]$=$x[(1-x)y{|}_0^{\frac{1-x}{2}}-y^2{|}_0^{\frac{1-x}{2}}]$=$\frac{1}{4}x(1-x{)}^2$
    • 第三次积分:${\int }_0^1\frac{1}{4}x(1-x{)}^2\mathrm{d}x$=$\frac{1}{4}{\int }_0^1(x^3-2x^2+x)\mathrm{d}x$=$\frac{1}{48}$

例3

• 计算三重积分$\underset{\Omega }{\iiint }{z}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$,其中$\Omega$是椭球面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$所围成的空间闭区域
  • 椭球面$\Omega$和坐标交点:
    • 令$y=z=0$,则$x=\pm a$
    • 令$x=z=0$,则$y=\pm b$
    • 令$x=y=0$,则$z=\pm c$
  • 如果要以三次积分的方式做,那么对于$z$的区间$\left[-\sqrt{c^2[1-(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})]},\sqrt{c^2[1-(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})]}\right]$,写起来费劲
  • 如果采用二次积分,先做二重积分,再做一次定积分,则比较简单
  • 用平面$z=z$截空间$\Omega$的截面的边界为:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=$1-\frac{z^2}{c^2}$(1),这是一个椭圆,垂直于$z$轴,其对应的平面区域为$D_z$:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}⩽1-\frac{z^2}{c^2}$
  • 椭圆(1)的标准形为$\frac{x^2}{a^2(1-\frac{z^2}{c^2})}+\frac{y^2}{b^2(1-\frac{z^2}{c^2})}$=$1$,其面积为$\pi ab(1-\frac{z^2}{c^2})$
  • $\Omega$=$\{(x,y,z)\mid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}⩽1-\frac{z^2}{c^2},-c⩽z⩽c\}$
  • $\underset{\Omega }{\iiint }{z}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$=${\int }_c^{-c}\mathrm{d}z\underset{D_z}{\iint }{z}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
    • 其中$\underset{D_z}{\iint }{z}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$z^2\underset{D_z}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$z^2(\pi ab(1-\frac{z^2}{c^2}))$,这里$z^2$相对于$x,y$是常数,因此可以提出来,计算比较简单
    • $\underset{\Omega }{\iiint }{z}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$=$\pi ab{\int }_{-c}^c(1-\frac{z^2}{c^2})z^2\mathrm{d}z$=$\frac{4}{15}\pi ab{c}^3$