AM@三重积分@直角坐标系上的计算
文章目录
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- 三重积分
- 三重积分的计算
- 先一后二
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- 投影方式
- 与边界曲面的交点多于2个的情形
- 先二后一
- 应用
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- 例1
- 例1-1
- 例2
- 例3
三重积分
- 定积分和二重积分作为和极限的概念,可以推广到三重积分
- 三重积分的定义和二重积分类似,但是积分区域从平面闭区域 D D D,变为空间闭区域 Ω \Omega Ω
- 同时,三重积分会更加抽象,更加偏形式化地推广自定积分和二重积分
- 设 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)是有界闭区间 Ω \Omega Ω上的有界函数,将 Ω \Omega Ω任意划分为 n n n个空间小闭区域: Δ v 1 , ⋯ , Δ v n \Delta{v_1},\cdots,\Delta{v_n} Δv1,⋯,Δvn其中 Δ v i \Delta{v_i} Δvi表示第 i i i个小闭区域,也表示它的体积
- 在每个 Δ v i \Delta{v_i} Δvi上任意取一点 ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_i,\eta_i,\zeta_i) (ξi,ηi,ζi),这个点近似代表这个小区域(把它代入函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)求得的值近似表示这个小区域整体的值,例如密度)
- 作乘积 f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ v i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta{v_i} f(ξi,ηi,ζi)Δvi, ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,⋯,n),并作和 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ v i \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta{v_i} ∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δvi
- 令 λ = max { Δ v 1 , ⋯ , Δ v n } \lambda=\max\set{\Delta{v_{1}},\cdots,\Delta{v_n}} λ=max{Δv1,⋯,Δvn},若 λ → 0 \lambda\to{0} λ→0,上述和式的极限总是存在,且与小区间分法和代表点的取法无关
- 那么称 lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ v i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta{v_i} λ→0lim∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δvi为函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在闭区域 Ω \Omega Ω上的三重积分,记为
- ∭ Ω f ( x , y , z ) d v \iiint\limits_{\Omega}{f(x,y,z)}\mathrm{d}v Ω∭f(x,y,z)dv= lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ v i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta{v_i} λ→0lim∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δvi
(1) - 其中 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)称为被积函数, d v \mathrm{d}v dv称为体积元素, Ω \Omega Ω称为积分区域(空间区域)
- ∭ Ω f ( x , y , z ) d v \iiint\limits_{\Omega}{f(x,y,z)}\mathrm{d}v Ω∭f(x,y,z)dv= lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ v i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta{v_i} λ→0lim∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δvi
- 被积表达式从而一元函数定积分,到二重积分,三重积分,分别为
- f ( x ) d x f(x)\mathrm{d}x f(x)dx, f ( x , y ) d σ f(x,y)\mathrm{d}{\sigma} f(x,y)dσ, f ( x , y , z ) d v f(x,y,z)\mathrm{d}v f(x,y,z)dv
- 以直角坐标系为例,分别近似小曲边梯形面积,小曲顶柱体的体积,三元函数就抽象得多,更不容易从几何的角度描述,但仍然延续这种形式
- f ( x , y , z ) d v f(x,y,z)\mathrm{d}v f(x,y,z)dv可以和某些物理意义对应,例如体密度,体积和质量
- 若 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)表示物体在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的密度, Ω \Omega Ω是该物体所占的空间闭区域, f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在 Ω \Omega Ω上连续,那么 f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ v i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta{v_i} f(ξi,ηi,ζi)Δvi是该物体的质量 m m m的**近似值,**这个和当 λ → 0 \lambda\to{0} λ→0时的极限就是该物体的质量 m m m
- m m m= ∭ Ω f ( x , y , z ) d v \iiint\limits_{\Omega}{f(x,y,z)}\mathrm{d}v Ω∭f(x,y,z)dv
(2) - 三重积分的此种抽象便于研究和解决此类问题
三重积分的计算
- 三重积分的基本计算方法和二重积分类似,都是累次积分,即,三重积分化为 3 3 3次积分来计算
- 具体可以分为先一后二和先二后一法
- 在不同的坐标系中,计算公式有不同的表现形式
- 例如直角坐标系中,体积元素为 d x d y d z \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z dxdydz
(2-1) - 在柱坐标和球坐标又有不同形式
- 例如直角坐标系中,体积元素为 d x d y d z \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z dxdydz
先一后二
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这里介绍先一后二(先单后重)的方法
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简单的空间闭区间一般地可以描述为 Ω \Omega Ω= { ( x , y , z ) ∣ z 1 ( x , y ) ⩽ z ⩽ z 2 ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D x y } \set{(x,y,z)|z_1(x,y)\leqslant{z}\leqslant{z_2(x,y),(x,y)\in{D_{xy}}}} {(x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y),(x,y)∈Dxy}
- 例如求球面是一类简单空间闭区域
- 这类简单空间区域满足:平行于坐标轴( z z z轴)且穿过 Ω \Omega Ω内部的直线和 Ω \Omega Ω的边界曲面 S S S相交不多于2点
- 把闭区域 Ω \Omega Ω投影到 x O y xOy xOy面上,得到一个平面闭区域 D x y D_{xy} Dxy
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构造柱面
- 以 D x y D_{xy} Dxy的边界为准线作母线平行于 z z z轴的柱面,
- 这柱面与曲面 S S S的交线从 S S S中分出的上下两部分的部分曲面,分别表示为
- S 1 : z = z 1 ( x , y ) S_1:z=z_1(x,y) S1:z=z1(x,y)
- S 2 : z = z 2 ( x , y ) S_2:z=z_2(x,y) S2:z=z2(x,y)
- 其中 z 1 ( x , y ) , z 2 ( x , y ) z_1(x,y),z_2(x,y) z1(x,y),z2(x,y)都是 D x y D_{xy} Dxy上的连续函数,且 z 1 ( x , y ) ⩽ z 2 ( x , y ) z_1(x,y)\leqslant{z_2(x,y)} z1(x,y)⩽z2(x,y)
- 过 D x y D_{xy} Dxy内某一点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)作平行于 z z z轴的直线,此直线通过曲面 S 1 S_1 S1穿入 Ω \Omega Ω内,然后通过曲面 S 2 S_2 S2穿出 Ω \Omega Ω外,穿入点和穿出点的竖坐标分别为 z 1 ( x 0 , y 0 ) , z 2 ( x 0 , y 0 ) z_1(x_0,y_0),z_2(x_0,y_0) z1(x0,y0),z2(x0,y0),这一步的意图在于看出 z z z的区间上的积分时要把 x , y x,y x,y视为常数,分别计算 z 1 , z 2 z_1,z_2 z1,z2
- 将点 P 0 P_0 P0一般化,过 D x y D_{xy} Dxy内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)作平行于 z z z轴的直线,此直线过 Ω \Omega Ω内部,穿入点和穿出点的竖坐标分别为 z 1 ( x , y ) , z 2 ( x , y ) z_1(x,y),z_2(x,y) z1(x,y),z2(x,y)
- 这时,积分区域 Ω \Omega Ω可表示为 { ( x , y , z ) ∣ z 1 ( x , y ) ⩽ z ⩽ z 2 ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D x y } \set{(x,y,z)|z_1(x,y)\leqslant{z}\leqslant{z_2(x,y),(x,y)\in{D_{xy}}}} {(x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y),(x,y)∈Dxy}
- 该表示分别给出 z z z的范围,以及 ( x , y ) (x,y) (x,y)的平面区域范围,但不是 x , y x,y x,y的范围分别给出
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先将 x , y x,y x,y看做定值,将 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)只看做 z z z的函数,在 z z z的区间 [ z 1 ( x , y ) , z 2 ( x , y ) ] [z_1(x,y),z_2(x,y)] [z1(x,y),z2(x,y)]上对 z z z积分(定积分)
- 并且积分结果是 x , y x,y x,y的函数( z z z在此次积分被消去了),记为 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y),即 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)= ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z \int_{z_{1}(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z ∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
(3)
- 并且积分结果是 x , y x,y x,y的函数( z z z在此次积分被消去了),记为 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y),即 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)= ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z \int_{z_{1}(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z ∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
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然后再计算 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)在平面闭区域 D x y D_{xy} Dxy上的二重积分: ∬ D x y F ( x , y ) d σ \iint\limits_{D_{xy}}F(x,y)\mathrm{d}\sigma Dxy∬F(x,y)dσ= ∬ D x y [ ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z ] d σ \iint\limits_{D_{xy}}[\int_{z_{1}(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z]\mathrm{d}\sigma Dxy∬[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dσ
(4) -
假设平面闭区域 D x y D_{xy} Dxy= { ( x , y ) ∣ y 1 ( x ) ⩽ y ⩽ y 2 ( x ) , a ⩽ x ⩽ b } \set{(x,y)|y_1(x)\leqslant{y}\leqslant{y_2(x)},a\leqslant{x\leqslant{b}}} {(x,y)∣y1(x)⩽y⩽y2(x),a⩽x⩽b}
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则式(4)化为二次积分,得到三重积分的计算公式
(5)-
∭ Ω f ( x , y , z ) d v = ∫ a b d x ∫ y 1 ( x ) y 2 ( x ) d y ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z \iiint\limits_{\Omega}{f(x,y,z)}\mathrm{d}v =\int_{a}^{b}\mathrm{d}x\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\mathrm{d}y\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\mathrm{d}z Ω∭f(x,y,z)dv=∫abdx∫y1(x)y2(x)dy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
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z , y , x z,y,x z,y,x的积分区间都是标量区间,依次对以下区间进行积分
- z ∈ [ z 1 ( x , y ) , z 2 ( x , y ) ] z\in[z_1(x,y),z_2(x,y)] z∈[z1(x,y),z2(x,y)]
- y ∈ [ y 1 ( x ) , y 2 ( x ) ] y\in[y_1(x),y_2(x)] y∈[y1(x),y2(x)]
- x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b]
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对于累次积分,每次积分都是对几个积分变量中的一个做定积分,并且会消去一个积分变量,降低原积分的重数
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公式(4)将三重积分化为2次积分
- 即分解为一个二重积分和一个定积分
- 先定积分,后二重积分
- 即分解为一个二重积分和一个定积分
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公式(5)把三重积分化为三次定积分:先对 z z z,次对 y y y,最后对 x x x积分的三次积分
投影方式
- 上述情形将 Ω \Omega Ω投影到 x O y xOy xOy上
- 若平行于 x x x轴或 y y y轴且穿过 Ω \Omega Ω内部的直线和 Ω \Omega Ω的边界曲面 S S S相交不多于2点,则也可以把闭区域 Ω \Omega Ω投影到 y O z yOz yOz面上或 x O z xOz xOz面上
- 可见三重积分的积分顺序和二重积分类似,可能有不同的选择
与边界曲面的交点多于2个的情形
- 和二重积分的积分区域非 X X X,非 Y Y Y型时采取的方法类似,就是通过积分区域分割,使得各个部分区域是满足交点不多于2点的要求,逐部分作三重积分再求和
先二后一
- 某些情形下,使用先一后二的方法不方便计算,二可以考虑用先二后一法
- 即先二重积分后定积分
- 空间闭区域 Ω \Omega Ω= { ( x , y , z ) ∣ ( x , y ) ∈ D z , c 1 ⩽ z ⩽ c 2 } \set{(x,y,z)|(x,y)\in{D_{z}},c_1\leqslant{z}\leqslant{c_2}} {(x,y,z)∣(x,y)∈Dz,c1⩽z⩽c2}
- ( x , y ) ∈ D z (x,y)\in{D_{z}} (x,y)∈Dz是含 x , y x,y x,y的式子的不等式或等式
- z z z的取值范围是积分区域 Ω \Omega Ω在 z z z轴上的投影(空间区域不仅可以做平面的投影,还可以做直线上的投影)
- 方法是令 x , y = 0 x,y=0 x,y=0,即可解出 z z z的范围
- 公式为 ∭ Ω f ( x , y , z ) d v \iiint\limits_{\Omega}{f(x,y,z)}\mathrm{d}v Ω∭f(x,y,z)dv= ∫ c 1 c 2 d z ∬ D z f ( x , y , z ) d x d y \int_{c_1}^{c_2}\mathrm{d}z\iint\limits_{D_{z}}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∫c1c2dzDz∬f(x,y,z)dxdy
(6) - 其中 D z D_{z} Dz是竖坐标为 z z z的平面,用垂直于 z z z轴的平面 z = z z=z z=z截闭区域 Ω \Omega Ω所得到的一个平面闭区域
- 空间闭区域 Ω \Omega Ω= { ( x , y , z ) ∣ ( x , y ) ∈ D z , c 1 ⩽ z ⩽ c 2 } \set{(x,y,z)|(x,y)\in{D_{z}},c_1\leqslant{z}\leqslant{c_2}} {(x,y,z)∣(x,y)∈Dz,c1⩽z⩽c2}
应用
例1
- 由曲线 z = 2 − x 2 − y 2 z=\sqrt{2-x^2-y^2} z=2−x2−y2和 z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z=x2+y2所围成的区域 Ω \Omega Ω
- 曲线1: z 2 z^2 z2= 2 − x 2 − y 2 2-x^2-y^2 2−x2−y2,即 x 2 + y 2 + z 2 = 2 x^2+y^2+z^2=2 x2+y2+z2=2,是一个球心位于坐标原点的球面的一部分,因为 z ⩾ 0 z\geqslant{0} z⩾0,所以这部分就是 z = 0 z=0 z=0上方的半球面
- 曲线2:是一个旋转抛物面,可分别用三个坐标面截取可知
- 两个曲面所围成的区间在 x O y xOy xOy面上的投影可通过联立两直线消去 z z z得到
- 若直接降曲线1代入曲线2的左端,也就是说直接消去 z z z,得到 2 − x 2 − y 2 = ( x 2 + y 2 ) 2 2-x^2-y^2=(x^2+y^2)^2 2−x2−y2=(x2+y2)2
- 这个方程虽然是投影曲线的方程,但并不容易看出积分区域,因为方程次数较高,尝试用换元法降次
- 观察该式子,令 t = x 2 + y 2 t=x^2+y^2 t=x2+y2,从而 2 − t 2-t 2−t= t 2 t^2 t2,可以解出 t = 1 , − 2 t=1,-2 t=1,−2,由于 t ⩾ 0 t\geqslant{0} t⩾0,所以 t = 1 t=1 t=1
- 观察曲线 2 2 2,可得 t = z = x 2 + y 2 = 1 t=z=x^2+y^2=1 t=z=x2+y2=1,因此 D x y D_{xy} Dxy= { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 = 1 } \set{(x,y)|x^2+y^2=1} {(x,y)∣x2+y2=1}
- 而应该将曲线2代入到曲线1: z = 2 − ( x 2 + y 2 ) z=\sqrt{2-(x^2+y^2)} z=2−(x2+y2)= 2 − z \sqrt{2-z} 2−z,即 z 2 = 2 − z z^2=2-z z2=2−z,取正根的 z = 1 z=1 z=1,即通过算出 z z z的值来间接消去 z z z;现在将 z = 1 z=1 z=1代入曲线1或2,都可得出 D x y D_{xy} Dxy= { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 = 1 } \set{(x,y)|x^2+y^2=1} {(x,y)∣x2+y2=1}
- 若直接降曲线1代入曲线2的左端,也就是说直接消去 z z z,得到 2 − x 2 − y 2 = ( x 2 + y 2 ) 2 2-x^2-y^2=(x^2+y^2)^2 2−x2−y2=(x2+y2)2
例1-1
- 由例1中的区域 Ω \Omega Ω,计算 I I I= ∭ Ω z d v \iiint\limits_{\Omega}z\mathrm{d}v Ω∭zdv
- I I I= ∬ D x y d x d y ∫ x 2 + y 2 2 − x 2 − y 2 z d z \iint\limits_{D_{xy}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \int_{x^2+y^2}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}{z}\mathrm{d}z Dxy∬dxdy∫x2+y22−x2−y2zdz= 1 2 ∬ x 2 + y 2 ⩽ 1 z 2 ∣ x 2 + y 2 2 − x 2 − y 2 d x d y \frac{1}{2}\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant{1}}z^2|_{x^2+y^2}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y 21x2+y2⩽1∬z2∣x2+y22−x2−y2dxdy= 1 2 ∬ x 2 + y 2 ⩽ 1 ( 2 − x 2 − y 2 − ( x 2 + y 2 ) 2 ) d x d y \frac{1}{2}\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant{1}}{(2-x^2-y^2-(x^2+y^2)^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y 21x2+y2⩽1∬(2−x2−y2−(x2+y2)2)dxdy
- 该积分很适合用极坐标算积分区域表示为 r = 1 r=1 r=1, I I I= 1 2 [ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ( 2 − r 2 − r 4 ) r d r ] \frac{1}{2}[\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}(2-r^2-r^4)r\mathrm{d}r] 21[∫02πdθ∫01(2−r2−r4)rdr]= 7 π 12 \frac{7\pi}{12} 127π
例2
- 计算三重积分 ∭ Ω x d x d y d z \iiint\limits_{\Omega}x\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z Ω∭xdxdydz,其中 Ω \Omega Ω是三个坐标面和平面 x + 2 y + z = 1 x+2y+z=1 x+2y+z=1所围成的闭区域
- 此处被积函数是 x x x,很简单的一元函数
- 空间闭区域 Ω \Omega Ω图形分析:分别求得平面和坐标轴的交点: A ( 1 , 0 , 0 ) A(1,0,0) A(1,0,0), B ( 0 , 1 2 , 0 ) B(0,\frac{1}{2},0) B(0,21,0), C ( 0 , 0 , 1 ) C(0,0,1) C(0,0,1)
- 将 Ω \Omega Ω投影到平面 x O y xOy xOy上,得投影区域 D x y D_{xy} Dxy为三角形 O A B OAB OAB, D x y D_{xy} Dxy= { ( x , y ) ∣ y ∈ [ 0 , 1 − x 2 ] , x ∈ [ 0 , 1 ] } \set{(x,y)|y\in{[0,\frac{1-x}{2}]},x\in[0,1]} {(x,y)∣y∈[0,21−x],x∈[0,1]}
- x O y xOy xOy平面上,直线 y = 0 , x = 0 y=0,x=0 y=0,x=0以及 x + 2 y = 1 x+2y=1 x+2y=1
- 在 D x y D_{xy} Dxy内任意取点 ( x , y ) (x,y) (x,y),过此点做平行于 z z z轴的直线,该直线过平面 z = 0 z=0 z=0穿入 Ω \Omega Ω内,然后通过平面 z = 1 − x − 2 y z=1-x-2y z=1−x−2y穿出 Ω \Omega Ω外,第一次积分表示为 ∫ 0 1 − x − 2 y x d z \int_{0}^{1-x-2y}x\mathrm{d}z ∫01−x−2yxdz,被积函数为 f ( x , y , z ) = x f(x,y,z)=x f(x,y,z)=x
- 再作 D x y D_{xy} Dxy在 x x x轴的投影(OA),对 y y y的区间做积分;在平面 x O y xOy xOy上的OA对应的 x x x的区间 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]内取任意一点,做平行于 y y y轴的直线穿过 y = 0 , x + 2 y = 1 y=0,x+2y=1 y=0,x+2y=1,将边界曲线表示为 x x x的函数: y = 0 , y = 1 2 ( 1 − x ) y=0,y=\frac{1}{2}(1-x) y=0,y=21(1−x),第二次积分表示为 ∫ 0 1 − x 2 d y \int_{0}^{\frac{1-x}{2}}\mathrm{d}y ∫021−xdy,被积函数为第一次积分的结果
- 最后对 x x x的区间(OA)作积分, x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x∈[0,1]第三次积分表示为 f 0 1 d x f_{0}^{1}\mathrm{d}x f01dx,被积函数为第二次积分的结果
- ∭ Ω x d x d y d z \iiint\limits_{\Omega}x \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z Ω∭xdxdydz= f 0 1 d x ∫ 0 1 − x 2 d y ∫ 0 1 − x − 2 y x d z f_{0}^{1}\mathrm{d}x \int_{0}^{\frac{1-x}{2}}\mathrm{d}y \int_{0}^{1-x-2y}x\mathrm{d}z f01dx∫021−xdy∫01−x−2yxdz
- 第一次积分: ∫ 0 1 − x − 2 y x d z \int_{0}^{1-x-2y}x\mathrm{d}z ∫01−x−2yxdz= x ∫ 0 1 − x − 2 y d z x\int_{0}^{1-x-2y}\mathrm{d}z x∫01−x−2ydz= x z ∣ 0 1 − x − 2 y xz|_{0}^{1-x-2y} xz∣01−x−2y= x ( 1 − x − 2 y ) x(1-x-2y) x(1−x−2y)
- 第二次积分: ∫ 0 1 − x 2 x ( 1 − x − 2 y ) d y \int_{0}^{\frac{1-x}{2}} x(1-x-2y) \mathrm{d}y ∫021−xx(1−x−2y)dy= x [ ∫ 0 1 − x 2 ( 1 − x − 2 y ) d y ] x[\int_{0}^{\frac{1-x}{2}}(1-x-2y) \mathrm{d}y] x[∫021−x(1−x−2y)dy]= x [ ( 1 − x ) y ∣ 0 1 − x 2 − y 2 ∣ 0 1 − x 2 ] x[(1-x)y|_{0}^{\frac{1-x}{2}}-y^2|_{0}^{\frac{1-x}{2}}] x[(1−x)y∣021−x−y2∣021−x]= 1 4 x ( 1 − x ) 2 \frac{1}{4}x(1-x)^2 41x(1−x)2
- 第三次积分: ∫ 0 1 1 4 x ( 1 − x ) 2 d x \int_{0}^{1}\frac{1}{4}x(1-x)^2\mathrm{d}x ∫0141x(1−x)2dx= 1 4 ∫ 0 1 ( x 3 − 2 x 2 + x ) d x \frac{1}{4}\int_{0}^{1}(x^3-2x^2+x)\mathrm{d}x 41∫01(x3−2x2+x)dx= 1 48 \frac{1}{48} 481
例3
- 计算三重积分 ∭ Ω z 2 d x d y d z \iiint\limits_{\Omega}z^2\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z Ω∭z2dxdydz,其中 Ω \Omega Ω是椭球面 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2+c2z2=1所围成的空间闭区域
- 椭球面 Ω \Omega Ω和坐标交点:
- 令 y = z = 0 y=z=0 y=z=0,则 x = ± a x=\pm{a} x=±a
- 令 x = z = 0 x=z=0 x=z=0,则 y = ± b y=\pm{b} y=±b
- 令 x = y = 0 x=y=0 x=y=0,则 z = ± c z=\pm{c} z=±c
- 如果要以三次积分的方式做,那么对于 z z z的区间 [ − c 2 [ 1 − ( x 2 a 2 + y 2 b 2 ) ] , c 2 [ 1 − ( x 2 a 2 + y 2 b 2 ) ] ] \left[-\sqrt{c^2[1-(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})]},\sqrt{c^2[1-(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})]}\right] [−c2[1−(a2x2+b2y2)],c2[1−(a2x2+b2y2)]],写起来费劲
- 如果采用二次积分,先做二重积分,再做一次定积分,则比较简单
- 用平面 z = z z=z z=z截空间 Ω \Omega Ω的截面的边界为: x 2 a 2 + y 2 b 2 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} a2x2+b2y2= 1 − z 2 c 2 {1-\frac{z^2}{c^2}} 1−c2z2
(1),这是一个椭圆,垂直于 z z z轴,其对应的平面区域为 D z D_{z} Dz: x 2 a 2 + y 2 b 2 ⩽ 1 − z 2 c 2 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leqslant{1-\frac{z^2}{c^2}} a2x2+b2y2⩽1−c2z2 - 椭圆(1)的标准形为 x 2 a 2 ( 1 − z 2 c 2 ) + y 2 b 2 ( 1 − z 2 c 2 ) \frac{x^2}{a^2 ({1-\frac{z^2}{c^2}})}+\frac{y^2}{b^2({1-\frac{z^2}{c^2}})} a2(1−c2z2)x2+b2(1−c2z2)y2= 1 1 1,其面积为 π a b ( 1 − z 2 c 2 ) \pi{ab}({1-\frac{z^2}{c^2}}) πab(1−c2z2)
- Ω \Omega Ω= { ( x , y , z ) ∣ x 2 a 2 + y 2 b 2 ⩽ 1 − z 2 c 2 , − c ⩽ z ⩽ c } \set{(x,y,z)|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leqslant{1-\frac{z^2}{c^2}},-c\leqslant{z}\leqslant{c}} {(x,y,z)∣a2x2+b2y2⩽1−c2z2,−c⩽z⩽c}
- ∭ Ω z 2 d x d y d z \iiint\limits_{\Omega}z^2\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z Ω∭z2dxdydz= ∫ c − c d z ∬ D z z 2 d x d y \int_{c}^{-c}\mathrm{d}z\iint\limits_{D_{z}}z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∫c−cdzDz∬z2dxdy
- 其中 ∬ D z z 2 d x d y \iint\limits_{D_{z}}z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y Dz∬z2dxdy= z 2 ∬ D z d x d y z^2\iint\limits_{D_{z}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y z2Dz∬dxdy= z 2 ( π a b ( 1 − z 2 c 2 ) ) z^2(\pi{ab}({1-\frac{z^2}{c^2}})) z2(πab(1−c2z2)),这里 z 2 z^2 z2相对于 x , y x,y x,y是常数,因此可以提出来,计算比较简单
- ∭ Ω z 2 d x d y d z \iiint\limits_{\Omega}z^2\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z Ω∭z2dxdydz= π a b ∫ − c c ( 1 − z 2 c 2 ) z 2 d z \pi{ab}\int_{-c}^{c}(1-\frac{z^2}{c^2})z^2\mathrm{d}z πab∫−cc(1−c2z2)z2dz= 4 15 π a b c 3 \frac{4}{15}\pi{abc^3} 154πabc3
- 椭球面 Ω \Omega Ω和坐标交点: