【高等数学】去心邻域与邻域的意义

先来看看自变量趋于有限值时函数极限的定义（以下简称函数极限的定义）和函数连续性的定义：

• 自变量趋于有限值时函数极限的定义
  设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义
  如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\epsilon$（不论它多么小），总存在正数$\delta$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<\epsilon$
  那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限
  记作
  $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A或f(x)\to A(当x\to x_0)$$
• 函数连续性的定义
  设函数$f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义
  如果$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$$
  那么就称函数$f(x)$在点$x_0$连续

由上述定义我们可以发现高亮标记所示的区别，为什么会有这样的区别呢？

1. 去心邻域与邻域

• 以$x_0$为中心的任何开区间称为点$x_0$的邻域，记作$U(x_0)$
• 在$U(x_0)$中去掉中心$x_0$后，称为点$x_0$的去心邻域，记作$\stackrel{\circ }{U}(x_0)$

由以上定义可知：去心邻域与邻域的区别在于是否包含中心点$x_0$。

2. 解释

• 函数极限要表达的是一种趋势，要的是逼近点$x_0$，因而与函数在点$x_0$处是否有定义无关，即不包含中心点$x_0$，所以选择去心邻域；
• 函数连续性要求函数在点$x_0$必须要有定义，否则在该点就是间断的，即包含中心点$x_0$，所以选择邻域。